第五节 圆周角

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仅用直尺作垂线

　　很久以前就有人研究：能否仅用直尺完成所有的尺规作固．早在1822年法国数学家庞斯列就证明了：在平面内给定一个圆及其圆心，所有的尺规作图都可以仅用直尺完成．1833年瑞士数学家施泰纳又独立地发现了这一结论，后人称此结论为庞斯列一施泰纳定理．从本质上说，此定理表明，所有尺规作图，除可能事先最多用一次圆规外，均可只用直尺完成． 

　　问题：AB是已知圆的直径，点P是圆所在平面内的任一点，但P不在直线AB上，也不在圆周上，你能否仅用直尺过点P作AB的垂线?

　　分析与解：要作直线尚少一点，此题没有给出有关的图，也没有明确指明点P的位置．先画有关的图，并就点P的位置进行分类讨论：

　　(1)点P在圆的内部，如图①．连结AP、BP并延长与已知圆分别交于D、E，连结AE、BD交于C，连结CP，则CP即为所求的垂线．

　　(2)点P在圆的外部，如图②的两种情形．连结AP、BP与已知圆分别交于D、E，连结AE、BD交于C，连结CP，即为所求的垂线．

　　学生应该及早地像数学大师那样去追求和进行大量的创造性思考活动，而不要让学校里那种无休止的练习把自己的头脑弄得僵化和贫乏．实际上，沉溺在许多无益的练习之中，正好是一种在无意义劳动掩盖之下的獭惰，这样做除了使人消磨意志之外别无其他作用．在伟大的前辈面前去努力创造会使人坚强，这对于生长在我们这个时代，并注定要为之高奋斗的科学家们而言，就更为特别重要．

Beltrami

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