第七节 有理数的加减混合运算

典型例题

　　例1 计算：

　　(1)-6-2.4

　　(2)0-85.7

　　(3)-29+101

　　

　　(5)-49.5+49.5

　　(6)-71.8-71.8

　　

　　

　　分析：

　　解：(1)-6-2.4＝-8.4

　　(2)0-85.7＝-85.7

　　(3)-29+101＝72

　　

　　(5)-49.5+49.5＝0

　　(6)-71.8-71.8＝-143.6

　　

　　

　　说明：初学有理数计算的学生，因为受小学加减运算的习惯所影响，若把例1中各题两数之间的符号读作“加”、“减”，则非常容易出错误，所以建议把式中的“+”、“-”号一律读作“正”、“负”，按加法进行运算，经过一段时间的练习之后，再灵活掌握．

　　例2 填空题：

　　

　　

　　

　　(4)比0小4的数是______，比-12大7的数是______；

　　(5)-9比______小18，-9比______大18；

　　(6)若m＜0，n＜0，|m|＜|n|，则m-n______0；

　　(7)若m＞0，n＜0，|m|＜|n|，则m+n______0．

　　分析：有理数的加法与减法是互为逆运算的：加数＝和-被加数；减数＝被减数-差；被减数＝差+减数．

　　如果a，b代表任意两个有理数，那么比a大m的数就是a+m，比a小n的数就是a-n，求a比b大(或小)多少，就是求a-b＝？

　　

　　例3 把下列两个式子写成省略括号的和的形式．把它读出来，并计算出结果．

　　(1)(-5)-(+9.6)+(+7.3)+(-0.7)-(-3.07)

　　

　　分析：引入负数后，“+”、“-”号的读法有两种，作为运算符号读作“加”、“减”；作为性质符号读作“正”、“负”．

　　解：

　　(1)(-5)-(+9.6)+(+7.3)+(-0.7)-(-3.07)

　　=(-5)+(-9.6)+(+7.3)+(-0.7)+(+3.07)

　　=-5-9.6+7.3-0.7+3.07

　　=(7.3+3.07)+(-5-9.6-0.7) (加法交换律和结合律)

　　=10.37+(-15.3)

　　=-4.93

　　

　　说明：在进行有理数加、减混合运算时，为了使计算简便，经常根据以下四种情况灵活运用加法交换律和结合律．

　　(1)先把符号相同的数相加，最后再把一个正数与一个负数相加；

　　(2)有互为相反的两个数，应先行相加；

　　(3)相加后得数是整数的若干个数应先行相加；

　　(4)分母相同或易于通分的分数，可先求出它们的和．

　　注意：

　　(1)“+”、“-”号虽然有两种读法，但在算式中只能“一号一读，一号一用”，不能同一个符号既看成是性质符号，又看成运算符号．即同一符号两次应用是错误的．

　　(2)两个有理数相加，不都是绝对值相加．异号两数相加时，绝对值是相减．

　　(3)在交换加数的位置时，切记要连同前面的符号一起交换．

　　例4 计算：

　　(1)-12-(-25)+(-32)-(+4)+10

　　

　　分析：(1)题是有理数加减混合运算，应先把减法转化为加法，然后作加法运算；

　　(2)题如果按括号的顺序进行计算，显然非常麻烦，应当用加法运算律，把同分母的分数结合起来进行计算．

　　解：(1)-12-(-25)+(-32)-(+4)+10

　　　　＝-12+25-32-4+10

　　　　＝-12-32-4+25+10

　　　　＝-48+35

　　　　＝-13

　　
　　　
　　　
　　　
　　　

　　说明：1．对于有理数的加减混合运算，首先应统一成加法，然后省略加号，运算熟练后统一成加法及省略各加号可同时一次完成．

　　2．在有理数的减法运算未转化为有理数的加法运算时，被减数与减数的位置不能交换．对减法来讲，没有交换律．

　　3．求若干个有理数的代数和时，应注意运用加法的交换律、结合律，使用加法交换律的目的主要是为进一步使用结合律，即把需要结合在一起计算的数换位到一起．熟练地运用加法交换律和结合律，不但可以使运算简捷，而且对提高和发展思维能力也是大有裨益的．

　　例5 计算：

　　

　　

　　分析：这两个算式都是求代数和，灵活运用加法的交换律和结合律能使计算简便．

　　(1)题中，把分数化为小数计算较好；

　　(2)题中，把分母相同的分数先相加为好．

　　解：(1)原式＝(1.78+3.64+0.3+0.06)-(5.25+0.2+0.33)

　　＝5.78-5.78＝0

　　

　　

　　

　　

　　说明1．加减混合运算写成代数和形式后，最好把所有符号都看成是性质符号，看成是数的一部分，不能与数分开，在运用加法交换律时带着符号一起“搬家”，这样可避免产生错误．

　　2．加减混合运算时，通常把正数、负数分别相加；把能凑成整数的或同分母的分数先相加；…，这样可以使运算简捷．

　　3．在遇小数，分数混合运算时，是把小数化分数，还是把分数化小数，应因题而易，选择简便方法．

　　例6

　　

　　分析：算式中带有括号时，有两种计算方法．一是先做小括号，再做中括号，最后做大括号里面的，二是先逐层去掉括号后“再计算”，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号．

　　解：方法一

　　
　　
　　
　　
　　

　　方法二

　　
　　
　　
　　

　　说明：1．比较以上两种计算方法，显然方法二简便，但要采用方法二，则必须掌握去括号的法则，不掌握去括号法则的学生，只能用方法一．

　　2．括号前为“-”(减)号时，去括号的方法是：

a-(b+c)＝a-b-c

a-(b-c)＝a-b+c

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