第一节 二元一次方程组
典型例题
例1 判断下列括号内的各组数是不是它前面二元一次方程的解.
(1) ( ); (2) ( );
(3) ( ); (4) ( )
分析:根据二元一次方程解的概念,只需把括号内的 、 的值代入方程,左右两边相等就是方程的解.
解:(1)∵左边 右边
∴左边 右边 ∴ 不是方程 的解.
(2)∵左边 右边
∴左边=右边 ∴ 是方程 的解.
(3)∵ 左边 右边
∴左边 右边 ∴ 不是方程 的解.
(4)∵左边 右边
∴左边=右边 ∴ 是方程 的解.
例2 求二元一次方程 的正整数解.
分析: 求二元一次方程的解的方法是用一个未知数表示另一个未知数,如 ,给定 一个值,求出 的一个对应值,就可得到二元一次方程的一个解.而此题是对未知数 、 作了限制必须是正整数,也就是说对于给定的 可能是1,2,3,4….但是当 时 , 却不是正整数,因此 只能取正整数的一部分即 , ,
解:∵ ∴
当 时, 当 时, 当 时,
∴ 二元一次方程 的正整数解为:
, ,
例3 判断下列各组数是否是二元一次方程组 的解.
① ② ; ③
解:① 满足(1),而不满足(2),因此不是方程组的解.
② 不满足(1),因此不是方程组的解.
③ 满足(1),也满足(2),因此是方程组的解.
说明:能使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解,第一组 、 的值虽然满足方程(1)但不满足方程(2),所以不是方程组的解;第二组 、 的值不满足方程(1),就不是方程组的解,无须再代入(2)了.
例4 已知 是方程组 的解,求 和 的值.
分析:因为 是方程组 的解,根据方程组的定义知 既满足方程(1)又满足方程(2),于是有: , ,从而有
解:∵ 是方程组 的解.
∴ 将 、 的值代入后,方程(1),方程(2)都成立.
即
解(3)得,
解(4)得,
∴