第五节 菱形
典型例题1
例1 选择题
(1)菱形面积为 ,一个内角是 ,则这个菱形的周长为( ).
(A) ; (B) ; (C) ; (D)
(2)如图,等边△ 与菱形 有一个公共顶点 ,且边长相等;△ 的顶点 、 分别在菱形的边 、 上,则 等于( ).
(A) (B)
(C) (D)
解 (1)因为菱形的一个内角是 ,所以它的高是边长的一半.设边长为 ,则 ,可得 ,故菱形的周长为 .∴应选(D).
(2)设 度
∵ ,∴ ,∴
同理:
∵ ,∴
即
∴ ,∴
故应选(C).
例2 如图2,在 △ 中, , 为 的中点,四边形 是平行四边形.
求证: 与 互相垂直平分
分析 要证明 与 互相垂直平分,只要证明四边形 是菱形.所以要连结
证明 ∵在 △ 中, 为 的中点
∴
∵四边形 是平行四边形
∴ ,
∴ ,
∴四边形 是平行四边形
∵ ∴ 是菱形 ∴ 与 互相垂直平分.
例3 如图3,已知四边形 和四边形 都是矩形,且 .
求证: 垂直平分 .
分析 由已知条件可证明四边形 是菱形,再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明 垂直平分 .
证明:∵四边形 、 都是矩形
∴ , , ,
∴四边形 是平行四边形
∵ ,∴
在△ 和△ 中
∴△ ≌△ ∴ ,
∵四边形 是平行四边形
∴四边形 是菱形
∴ 平分 ∴ 平分 ∵
∴ 垂直平分 .
典型例题2
例4 如图,已知 △ 中, , ,垂足为 , 平分 交 于 ,交 于 ,过点 作 ,垂足为 ,连结 .
求证:四边形 是菱形.
分析 要证四边形 是菱形,由已知条件 平分 , , ,可证 所以,只须证四边形 是平行四边形,证明平行四边形的方法很多,这里给出此题三种证法.
证法一 ∵ 平分 , ,
∴
∵ ,∴
∴ ,
∵ ,∴
∵
∴ ∴ ∴
∵ , ∴ ∴四边形 是平行四边形
∵ ∴四边形 是菱形.
证法二 ∵ 平分 ∴
∵ ∴
在△ 和△ 中
∵ △ ≌△ ∴ ,
在△ 和△ 中
∴△ ≌△ ∴
∵ ∴
∴ ,
∵ ∴
∵ ∴ ∴
∴ ∴四边形 是菱形.
证法三 如图,连结 交 于
∵ 平分 ∴
∵ ,
∵
在△ 和△ 中
∴△ ≌△ ∴
∵ 平分 ∴ 垂直平分
∵ , ∴
∴
∵ ∴ ∴ ∴
∵ ∴ 平分
∴ 与 互相垂直平分 ∴四边形 是菱形.
例5 如图6, 中, , 、 在直线 上,且 .
求证: .
分析 要证 ,关键是要证明四边形 是菱形,然后利用菱形的性质证明结论.
证明 ∵四边形 是平行四边形
∴ , , ,∴
∵ ,∴
在△ 和△ 中
∴△ ≌△ ∴
∵ ∴
同理: ∴
∵
∴四边形 是平行四边形
∵ ∴四边形 是菱形
∴ .