第六节 正方形
典型例题1
例1 填空题
(1)如图1,延长正方形 的边 到 ,使 ,连结 交 于点 ,则 .
(2)如图2,正方形 的边长为4, 为 上的一点, , 为 的中点,则 .
图1 图2
解 (1)∵四边形 是正方形
∴ , ∴
∵ ∴∠E=∠1 ∴
∴
(2)∵正方形 的边长为4
∴ , ,
∴ ,
, .
∴
∴
例2 如图,正方形 的边长为 ,正方形 的边长为 , 为 的中点, ,延长 交 于点 .
求证: .
证明 ∵ 为 的中点
∴
在 △ 中
∵
∴
即
∴
即
∵ ,
∴ .
例3 如图,正方形 与正方形 中, , , 三点共线,连结 、 ,且延长 交 于 .求证: .
分析 要证 ,只要证 ,所以应先证 ,因 且 ,因此只要证明 ,而 , 分别在△ 和△ 中,故只要证明△ ≌△ 即可.
证明 ∵四边形 和四边形 都是正方形
∴ ,
∴△ ≌△ ∴
∵ ∴
∵ ∴
∴ ∴ .
典型例题2
例4 如图,正方形 中, 、 交于 点,点 是 上任意一点, , ,垂足为 .
求证:△ 是等腰直角三角形.
分析 要证明△ 是等腰直角三角形,只要证 , ,观察图可知, 、 在△ 和△ 中,所以只要证明△ ≌△ 即可.
证明:∵四边形 是正方形
∴ , , .
∵ ,
∴
∴四边形 是矩形 ∴
∵ ∴
∵ ∴
∴ ∴
在△ 和△ 中
∴△ ≌△ ∴ ,
∵
∴△ 是等腰直角三角形.
例5 如图,在正方形 中, 是 的中点, 是 上一点,且 .
求证:
证法一 如图,延长 到 ,使 ,连结 交 于点 ,连结 .
∵四边形 是正方形
∴ ,
∴
在△ 和△ 中
∴△ ≌△
∴ ,
∵ ∴
在△ 和△ 中
∴△ ≌△ ∴
∵ ∴
在 △ 和 △ 中
∴ △ ≌ △
∴
又∵ ∴
又∵ ∴ △ ≌ △
∴
∵
∴
证法二如图,在 截 ,作 的中点 ,连结 、 、 .
∵四边形 是正方形
∴ ,
∵ , ,∴ ,
在△ 和△ 中
∴△ ≌△ ,∴
∵ ,∴
在△ 和△ 中
∴△ ≌△ ∴ ,
∴ ,
在 △ 和 △ 中
∴ △ ≌ △ ∴ ∴ .
证法三 如图,作 的中点 ,作 ,垂足为 ,连结 、
∵四边形 是正方形
∴
∴
∵ , ,
∴
在△ 和△ 中
∴△ ≌△ ,∴
∵ ,∴
∵ , ,∴ ,∴
在 △ 和 △ 中
∴ △ ≌ △ ∴ ∴ .