第二节 平行线分线段成比例定理
扩展资料
巧用线段成比例证线段相等
证线段相等的问题较常见,而证题的方法随着所学知识的不断积累也逐渐增多。如根据题设的不同,利用全等三角形的对应线段相等;等腰三角形、等腰梯形的两腰相等;平行四边形的对边相等,对角线互相平分;正方形、矩形、等腰梯形的对角线相等;关于直线成轴对称或关于点成中心对称的线段相等,以及线段的垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理等等。
现在学了线段成比例的有关定理,也常用来证两线段相等,其方法是利用条件中有(或添作)平行线或相似三角形,列出几组比例式进行比较而得出。现举数例说明于下。
例1 如图1,从直角 的两直角边AB、AC向形外作正方形ABFG及ACDE,CF、BD分别交AB、AC于P、Q。求证: 。
证明:∵ ,
∴ 。
即
∵ ,
∴
例2 已知AD、CF是 的两条高线,在AB上取一点P,使 ,再从P点引BC的平行线和AC交于Q点。求证: 。
证明:如图2,∴ 公共,
∴ ∽ 。
∴ 。
又∵ ,
∴ ∽ 。
∴ 。
已知 ,
∴
例3 如图3,已知一直线与 的三边AB、BC的延长线及CA分别交于D、E、F,且 。求证: 。
证明:过C作 ,交DE于G,则 ∽ , ∽ 。
∴ ,
。
已知 ,
∴ ,
∴
扩展资料
求线段年度的方法——应用比例线段
例 如图所示, ,若 ,求EF长.
分析:观察EF所处位置,根据 ,可以建立含EF的比例式,从比例线段入手解出EF.
∴ ∽
∴ (1)
∴ ∽
∴ (2)
(1)+(2),得
∴
扩展资料
转换线段比的桥梁——平行线
线段成比例问题是初中几何中一类很棘手的证明问题,不少同学面对题目难以下手.事实上,有的问题,如果能仔细观察待证比例式和图形的结构特点,巧妙地添加适当的平行线作为转换比例的桥梁,往往能收到柳暗花明之效.现举例说明.
例 如图1,在 中,已知D为BC的中点,E为AC上一点,DE的延长线与BA的延长线交于点F.求证: .
分析:从图上看, 与 并没有直接的联系,但它们都分属同一直线上的线段比.因此,可考虑过某分点添加平行线来寻求过渡比.由条件和待证式,可有以下几种作平行线的思路:
(1)过A作 ,交 于G,如图2.
(2)过A作 ,交 于G,如图3.
(3)过B作 ,交CA的延长线于G,如图4.
(4)过B作 ,交FD的延长线于G,如图5.
(5)过C作 ,交FD的延长线于G,如图6.
(6)过C作 ,交BF的延长线于G,如图7.
现以图2为例证明如下.
证明:过A作 交DF于G,如图2.
∴
而 ,
∴ .