第三节 方差

典型例题

　　例1 计算下边这组数据的方差和标准差（结果精确到 ）；423，421，419，420，421，417，422，419，423，418。

　　分析：注重对方差、标准差的计算公式或简化公式的运用。

　　解法1 

　　

　　

　　

　　

　　∴

　　解法2 令 ，将每一个数据都减去 ，得到一组新数据如下：3，1，－1，0，1，－3，2，－1，3，－2。

　　∴

　　

　　

　　

　　∴

　　说明：方差、标准差有三个计算公式，计算方差时要灵活运用，以便减轻运算量．一般情况下，使用简化公式进行计算较简便；当数据较小时，可直接利用方差的简化公式进行计算；当数据较大时，可建立一组对应的新数据后，再用方差的简化公式进行计算

　　例2 要从甲、乙、丙三位射击运动员中选拔一名参加比赛，在预选赛中，他们每人各打10发子弹，命中的环数如下：

　　甲：10 10 9 10 9 9 9 9 9 9 ；

　　乙：10 10 10 9 10 8 8 10 10 8；

　　丙：10 9 8 10 8 9 10 9 9 9 。

　　根据这次成绩，应该选拔谁去参加比赛？

　　根据这次成绩，应该选拔谁去参加比赛？

　　分析：本题着重考查对方差的意义及实际运用．

　　解经计算，甲、乙、丙三人命中的总环数分别为93，93，91．所以丙应先遭淘汰．

　　设甲、乙的命中环数分别为 和 ，方差分别是 和 ，则： 。

　　

　　

　　

　　

　　∵

　　∴ 在总成绩相同的条件下，应选择水平发挥较稳定的运动员甲参加比赛。

　　说明：丙的总成绩显著，应先遭淘汰，然后利用方差的含义，来考查甲、乙二人成绩的稳定性。

　　例3 有个班的学生，身高测定数据如下表：

　　(1)计算各小组及总体平均数；

　　(2)计算各小组及总体方差；

　　(3)哪个小组身高比较整齐？

　　解：

　　

　　

　　

　　类似算出第2、3、4、5小组平均数为：171.1，170.4，167.1，169.9．

　　我们来计算总体平均：将各数均分别减去170，得

　　采用“相反数就近相抵”的办法，可出现很多的0：

　　

　　(当然，由于各小组人数相同，也可用各组平均的平均来算：

　　

　　结果一样．)

　　(2)据我们数据的情况，直接用定义计算小组方差就可以了．先看第一小组

　　

　　

　　

　　 但它是“低水平上的”整齐．而最为参差不齐的是第二小组．

　　说明：

　　①在本例求平均数的过程中，我们看到代换x抇i=x^i-a还有一个好处，就是若a取得离平均数很“近”，则不仅须计算的数值大大减小，而且出现许多符号相反的数，可互相抵消，从而进一步简化计算；②如果我们把“全班学生的身高”看作总体，而把各小组的身高看作样本

　　(容量为10的)，我们就看出，那么不同的样本“估计”总体的效果是不一样的，比如，用第一小组平均值和方差估计总体平均值和方差是

　　

　　与总体误差较大，我们还可以把不同小组合并起来，形成较大的样本，比如，把第二、五小组合并(一个方差最大，一个最小)，则有

　　

　　这是个容量为20的样本，“估计”值距真值“近”多了．我们再把二、三、五小组并起来，构成一个容量为30的样本，那么 则与总体平均值和方差，又接近一些．

返回页首