第七节 对数
例1.求下列各式中的 .
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) .
分析:根据式中 的位置或转化成指数式计算或利用对数性质进行计算.
解: (1) .
(2) ,得 .
(3) ,得 或 .
(4)由对数性质得 .
(5)由对数性质得 解得 .
证明:对数式的运算除了注意使各量都有意义为前提,还要注意指对之间的互化互助.
例2.已知 ,求 的值.
分析:根据复合函数的概念,结合换元法可以直接求值,当然也可以先求出 的解析式再求 的值.
解:法一令 则 , . .
法二由 ,得 , .
说明:此题以函数概念为背景,实际考察对数的运算法则的使用.
例3.计算
(1) ; (2) ; (3) .
分析:对数运算法则是解决这类运算的重要工具,除此之外还需用到有关指数幂的运算法则进行计算.
解:(1)原式= .
(2)原式=
=
= .
(3)原式= .
说明:第(2)小题的运算除利用法则外,有一定的设计性,主导思想是减少对数值的个数.此提在减少量的思想指导下,只剩一种元“ ”是最理想的状态.
例4.(1)已知 ,则 =__________.
(2)设 ,则 的值为_____.
(3)已知 则 的值为___________.
分析:此组小题主要将指对运算混合在一起,注意各自法则的正确使用.
解: (1)由性质得 又由性质得 ,由定义得 . .
(2)由已知得 .
= .
(3)将其改写为指数式为 , = .
说明: 利用指数对数的对立统一性,注意运算形式的选择,以简化计算.
例5.已知 , ,试用 的式子表示 .
分析:求以 表示 的式子,实际上是寻找 和 之间的关系所以应将三个真数尽量化整并化小,便于寻找关系.
解: (1)
(2)
由(1)(2)解得 , .
= .
说明:本题的求解中,分解化简和方程思想的运用在处理很多问题中具有一般性.
例6.对于正整数 和实数 , , = ,求 的值.
分析:可先从条件中化去 ,的到含有 的方程,转化条件可以利用指对互化来完成.
解:在 中,两边取对数得 , .
同理由 和 得 ,又 =
即 .又 ,可分为三种情况:
如果 由 得 (舍去)
如果 ,得 .
如果 ,此时 无整数解.
说明:对所给条件两边同时取对数是化简条件向指数转化的重要手段,且这里对 情况的讨论也要有主有次,抓住一个为主元,进行讨论即可.
例7.已知函数 满足 .且对一切实数 都有 ,求实数 的值.
分析:这是一道函数与不等式结合的题目需确定 的类型,再根据条件求解.
解:由 得 (1),
由 得 (2)
(2)对任意 恒成立的条件是△= .将(1)中 代入得 解得 .
说明:此题中“对一切实数 都有 恒成立”的问题的转化,必须保证其等价性.