第四节 等比数列
例1.已知 为各项均为正数的等比数列,公比 ,则( ).
(A)
(B)
(C)
(D) 与 的大小关系不确定
分析:比较两数大小用到作差比较法.
解: ,
,
-
= = .
因为 为各项均为正数,所以 .
当 时有 , ;
当 时有 ,也有 ,所以对任意正数 都有 ,即 ,故选择 .
说明:通过本题的探索,复习基本量的方法,同时复习比较法的基本思路与方法.
例2.已知三角形的三边长成等比数列,求此等比数列的公比的取值范围.
分析:由三个数构成三角形三条边的条件建立关于公差的不等式(组).
解:设该等比数列的公比为 ,一条边长为 ,则三条边长分别为 .所以有 化简得
,
于是公比的取值范围是 .
说明:本题是数列知识与几何知识、不等式的解法的综合题,正确解答的关键是把问题一步一步地转化.
例3.已知数列 是由正数构成的等比数列,公比 ,且 ,则 等于( ).
(A) (B) (C) (D)
分析:利用等比数列相邻的三项之间的关系 ,使得变量减少.
解: …,
… = ,
.
,
选择(B).
说明:本题的一般解法是基本量法,即将所求各项均用 表示,由已知的两个等式求出 ,代入所求即可,但运算量较大.本解法利用的是整体代换———通过观察发现项之间的关系,将30项平均分成了10组,寻求每组中的项之间的关系.本题还可求得 .
例4. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和为16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.
分析:解题思路是设未知数,列方程组,解方程组.
解:设这四个数依次为 ,于是有 ,
解得 或 故所求的四个数为0,4,8,16,或15,9,3,1.
说明:本题设未知数的方法很多,出所示解法外,还可设四个未知数,这样便须列四个方程.可能多数学生选择两个未知数,如利用等差数列这一条件,设四个数分别为 ,方程较为复杂,所以要选择适当的未知数,使得未知数尽量少,方程尽量简单.
例5.设二次方程 有两个实根 和 ,且满足 .
(1)试用 表示 ;
(2)求证 是等比数列;
(3)当 时,求数列 的通项公式.
分析:消去 得到 , 的关系,利用定义证明数列为等比数列.
解:(1)由根与系数的关系得 代入 ,化简得 .
证明:(2)因为 ,所以 ,于是 (可以证明 ),故 是公比为 的等比数列.
解:(3)当 时, ,所以 是首项为 ,公比为 的等比数列.
于是 故 .
说明:一些数列通过适当的变形,可以得到一个等比数列(或等差数列),形如 的数列就可以转化为一个等比数列.