第五节 等比数列前n项和

婆罗门之谜

　　这是一个引人入胜的传说，古代天竺国某婆罗门教寺院（即现在印度北方邦瓦拉西纳县的一座大庙）曾被认为是世界的中心，在该大庙的穹顶下放着一个黄铜盘子，盘子上有三个尖宝塔——左塔、中塔和右塔，中塔上有64个金刚石宝环，这64个宝环从上到下一个比一个小，左、右两塔都没有放金刚石宝环．庙内的老和尚梵天临终时召集了他的大小门徒，宣布了一条法令：“现在我们要把中塔上的金刚石宝环全部移到左塔（或右塔）上，移动时，金刚石宝环只允许放在塔上，每次只能移动一个，并且大环不能放在小环上面．”宣布完法令后，老和尚感慨万端，他说：“这项工作是非常艰难的，等到中塔上64个金刚石宝环全部移到左塔（或右塔）的时候，世界将在一声霹雳中毁灭，万物和众生都将同归于尽．”众门徒面面相觑，顿感天塌地陷，整个世界将灰飞烟灭．

　　移动64个宝环，看来轻而易举，不需多费时日，难怪众门徒魂飞胆袭，倒是老和尚心中有数，按照老和尚定下的规则，要把这64个宝环移好，能花费的时间你也许不敢想象．

　　我们不妨来移动一下，试试看．

　　为了方便起见，我们将64个宝环从小到大用符号①，②，③，… 64 来表示，移好1个、2个、3个…宝环所需要移动的次数依次组成数列 符号“中 右”表示最小的宝环从中塔移到左塔，符号“左 右”表示第3个宝环从左塔移到右塔，等等．于是

　　移好1个环：显然只需要移动1次， 即

　　移好2个环：在移好1个环的基础上，还需要下面两个步骤：

　　因为移好1个环需要移动1次，所以加起来一共要移动 （次）．

　　移好3个环：在称好2个环的基础上，还需要下面四个步骤（请你自己动手移一移）：

　　因为移好2个环需要移动3次，所以加起来一共需要移动 （次）．

　　移动好4个环：在移动好3个环的基础上，还需要下面八个步骤：

　　因为移好3个环需要移动7次，所以加起来一共要移动 （次）．

　　再继续移下去，情况就越来截止复杂了，我们需要找出一些规律性的东西．

　　实际上，移好4个环，只需将中塔上的④环移到未放环的塔上，再将已经移好了的3个环移到只放④环的塔上（它的移动次数情好等于已经移好的3人环的次数）就行了．因为原先已经移好了3个环，所以移好4个环的次数就等于原先移好3个环的次数的2倍再加上1，即 ．

　　类似地，移好 的环，只需将中塔上的第 个环移到未放环的塔上，再将已经移好的 个环移到只放第 个环的塔上（它的移动次数恰好等于已经移好了的 个环的次数）就行了，因为原先已经移好了 个环，所以移动好 个环的次数就等于原先移好 个环的次数的2倍再加上1．即

　　下面我们据此来求出数列 的通项公式．

　　由 得

　　所以数列 是首项为 ，公比为2的等比数列．

　　所以                  

　　即                    

　　因此，移动好64个环所需要的移动次数为

　　我们知道，一年平均有

　　假如1秒钟可以移动1个宝环，那么将中塔上64个宝环全部移动左塔（或右塔）时，就需要

　　人生易老，17 400亿年是一个长得不可思议的时间．天文学家计算出，太阳自形成到灭亡为止，大约有120亿年时间，而120亿年大约是17 400亿年的一百五十分之一，还没有等宝环移动完，太阳与地球早已灭亡，老和尚确实言之不虚．由此可见，宗教界传说的“世界末日”远比太阳系的寿命长，李洪志之流用“世界末日”来唬人，确为邪教之谬论．

趣谈斐波那契数列

　　斐波那契是意大利的一位著名数学家，1202年，他在所著的《算盘节》中，提出了一个著名而有趣的兔子问题．

　　假定一对小兔子经过一个月后能够长成一对大兔子，而一对大兔子经过一个月后能够生了一对小兔子．现在我们从一对小兔子开始，用 表示第 个月兔子的总对数，显然， （第1个月只有一对小兔子，第2个月只有一对大兔子）， （第3个月一对大兔子生出一对小兔子，总共两对兔子），……我们用下面表示兔子的繁殖规律，图中△表示一对小兔子，○表示一对大兔子，实箭头表示一对小兔子长大成为一对大兔子或表示一对大兔子照样生长，虚箭头表示于对大兔子生出一对小兔子．

　　于是我们得到一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…

　　仔细观察这个数列，从第3项起每一项都是它前相邻两项的和，它的递推公式是：

　　根据这个递推公式我们不难计算了，

　　这就是著名的斐波那契数列．

　　斐波那契数列有一系列奇妙的性质，现简列以下几条，供读者欣赏．

　　1．从首项开始，我们依次计算每一项与它的后一项的比值，并精确到小数是第四位：

     

     

    

    

  

 

　　如果将这一工作不断地继续下去，这个比值将无限趋近于某一个常数，这个常数位于1.618 0与1.618 1之间，它还能准确地用黄金数 表示出来．

　　2．我们在初中曾经遇到过杨辉三角形，如下图所示，杨辉三角形中草药一虚线上的数的和恰好组成斐波那契数列：

　　3．在斐波那契数列中，请你验证下列简单的性质：

前 项和

       

       

       

　　4．在植物王国中，也可以找到斐波那契数列的踪迹．我们来看看下文中提到的叶序现象，它刻画了植物的叶子在枝干上的排列．

　　图是一根樱树的枝条，假如用一根细线，从它的一片叶子连到下一片，然后沿枝条的方向环绕着再连到了相对原先的初始位置，接着进入第二个轮回．

　　叶子的排列，能够用以下的叶序分数来表示：

　　从图可以看出，樱树的叶序分数为 ，观察一些其他植物可以发现：榆树的叶序分数为 ，郁金香的叶序分数为 ，梨树的叶序分数为 ，柳树的叶序分数为 ．叶序分数为 这样的比，在许多玫瑰类植物及松果鳞片的排列中都可以看到．

　　极为有趣的是，所有的叶序分数都是斐波那契数列中交错的两项组成，除非损坏或异常的扭曲而改变了那里的整个排列，不然的活，绝对找不出一种植物，其叶序分数，会与这一规律相违背，这种大自然的鬼斧神工，真是令人惊叹不已！