第二节算术平均数与几何平均数

作者：未知来源：中央电教馆时间：2006/4/8 18:03:15阅读：nyq

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不等式的推广及应用

　　人教版《高中数学第二册》（上）P₁₁第1题证明不等式 .利用该不等式可以简捷巧妙地解答其它一些不等式问题.本文简单介绍它的应用及推广，供大家在教学中参考.

一、不等式的应用

　　例1 设c是直角三角形斜边的长，两直角边长为a和b,求证

　　证明：∵

　　例2 填空：设的最小值为 .

　　当且仅当 .

　　例3 设A、B、C、D为空间中的四点，

　　求证：

　　证明：如图，取BD的中点E，连结AE和EC，则在△ABD和△BCD中，根据中线的性质，有

二、不等式的推广及应用

　　不等式可以推广成如下命题：

　　如果：

=a_n时取“=”号）.

　　证明：

　　例4 （外森比克不等式）已知三角形的边长为a,b,c，其面积为S，求证，并指出何时等号成立.

证明：由海伦公式，

　　例5 试确定的所有实数解.

　　解：由

　　取“=”号.

　　所以，原方程组有唯一实数解

三、不等式的再推广及应用

　　不等式还可以再推广，这就是著名的Holder不等式.

　　如果（当且仅当时取“=”号）.

证明从略.

　　例6 求证：

　　证明：由Holder不等式，得

　　例7 设A、B、C为△ABC的三个内角，n为自然数，求证

　　证明：由不等式，得

当且仅当时取“=”号.

　　例8 已知，求证

　　证明：由H lder不等式，得

　　事实上，我们称M_m( = 为n个正数的m次幂平均．关于幂平均有下面的定理：

如果为正数，，那么（）（当且仅当a₁=a₂=…=a_n时取“=”号）．

证明从略．

据定理，有Ｍ_２（）Ｍ_１（）（当且仅当时取“=”号），即）（）（当且仅当时取“=”号），即为不等式.

阅读材料在数学教学中的作用

文／刘　虹

　　全日制普通高级中学数学教科书（试验本）第一至三册共编入23篇阅读材料．由于教学大纲没有对这部分内容做具体要求，在教学中往往被教师忽略．笔者认为，作为教材的一部分，正文内容的补充，教师应鼓励、要求、指导学生课外阅读．如果处理好这些内容，能够提高学生学习数学的兴趣，开阔他们的视野，激励学生热爱科学、敢于创新的精神，培养他们良好的个性品质，使数学课程在从应试教育向素质教育转轨的过程中发挥更积极的作用．以下谈谈自己在教学中的几点体会．
　　一、进行数学史教育，培养学生良好的学习品质
　　关于数学史教育，一般在必修课教学过程中涉及不多，然而史学教育对于了解一门学科起着重要作用．部分阅读材料正是教师对学生进行数学史教育的良好素材．如《笛卡儿和费马》一文介绍了解析几何学产生的历史背景，以及两位数学家笛卡儿和费马在创立这门学科过程中的主要贡献；《复数系是怎样建立的》则向学生展示了建立复数系的漫长过程，并指明了复数广阔的应用领域和发展前景．对这两篇阅读材料的处理，教师可以从以下两个方面指导学生阅读：首先，让学生了解数学发展过程中的每一项重大发现的偶然性与必然性，以及其中所蕴藏着的不懈追求与探索的精神．众多数学家们的严谨、踏实、不畏艰难、追求真理、敢于创新的科学精神，会带给学生极大的启示和教育，使其受益终身；其次，让学生了解数学发展的过去、现在和未来，了解数学发展的前沿和动态，有助于促使学生产生使命感．阅读完这一材料后，学生对“超复数”表示出较大的兴趣，教师可指出，数系的扩张是无穷无尽的，超复数的提出留给了学生立志于数学研究的广阔空间，从而激发学生的学习热情，明确今后的努力方向．
　　二、处理好与教材知识前后呼应的内容，提高学生的数学能力
　　通过学习与所学知识有联系的阅读材料，能促进学生对知识的理解，完善认知结构．对这部分内容教师应不拘形式地指导学生阅读．例如，无穷等比数列各项和的概念及计算公式在教学大纲中虽然没有作要求，但是如果学生掌握（＝这一公式，可以简化解题步骤，提高解题效率．因此，对《无穷等比数列》（＝的和＝的处理我采取了以下方式：在完成教材（第三册）第2．2节例3求的教学后，让学生讨论一般的无穷等比数列，，，…，，…当时前项和的极限，学生能够较快地得出结论．这时，教师指出Ｓ_ｎ与Ｓ的区别，并要求学生课后学习阅读材料《无穷等比数列》＝的和＝．通过阅读，学生能进一步了解到利用不仅能提高解题速度，还能将无限循环小数化为分数，而且能解决其他涉及这种等比关系的求和问题．再如，教学大纲对两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，要求“不扩展到三个正数的算术平均数不少于它们的几何平均数定理”．于是，对《几个正数的算术平均数与集合平均数》一文可指导学有余力的同学阅读，并可适当补充一些习题，使学生了解均值不等式在证明不等式及解决有关最大值、最小值的实际问题中的重要作用，这样既能满足学生对知识的渴求，也能开阔学生的思路，有助于提高学生的解题能力．
　　三、加强数学学科与社会及相关学科的横向联系，强化用数学的意识
　　《全日制普通高级中学数学教学大纲》在要求培养学生解决实际问题的能力中指出：会提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科、生产和日常生活中的数学问题；会使用数学语言表达问题、进行交流，形成用数学的意识．作为工具学科的数学，与物理、化学及日常生活息息相关，当某一个学科的问题一旦被数学化之后，它就被纳入了数学的轨道，从而能借助数学方法得以解决．《自由落体运动的数学模型》一文扼要地介绍了数学模型与数学模型方法，并以意大利科学家伽利略在16世纪研究自由落体运动的过程为例，具体地说明了用数学模型方法解决问题的基本步骤．学生在学完第2．9节《函数的应用举例》一节后，对数学模型的概念已经有了初步了解，这时教师再带领学生阅读《自由落体运动的数学模型》一文，能使学生对数学模型及数学模型方法有比较完整的认识，使数学知识的运用得到升华．
　　近几年来，数学应用题一直是高考热点题型之一．如1997年的“运输成本”问题，1998年的“污水沉淀箱”问题，1999年的“减薄率”问题，等等．解决这些问题所涉及到的数学知识并不是中学数学中特别高深的理论，然而考试成绩并不理想，其主要原因是传统数学课程的内容与现实生活联系不紧．因此，在平时的教学中，教师要注意从学生所熟悉的生活、生产中的实际问题出发，引导学生把数学知识运用到生活和生产实践中去．而《有关储蓄的计算》、《抽签有先有后，对各人公平吗?》等阅读材料都是给靠近课本的数学模型赋予使学生可理解、可接受、感兴趣的具体问题，教学中可以借助这些阅读材料，引导学生用数学的眼光观察世界，用数学语言来表示实际问题中的数学关系，进而使学生认识到学习数学的重要性和必要性，帮助学生纠正“数学难而无用”的错误思想，唤起他们的求知欲，激发学习热情，培养他们自觉学数学、用数学的意识．因而，忽视这部分内容的教学，就可能丧失一次训练学生解决实际问题能力的机会．
　　四、挖掘阅读材料中的数学思想和方法，加强对学生数学素养的培养
　　某些阅读材料中蕴含着丰富的数学思想和方法．“不完全归纳法与完全归纳法”告诉学生不完全归纳法虽然不能作为一种论证方法，但是研究数学的一把钥匙，是发现规律、探求结论的一种重要手段，猜想与证明正是以不完全归纳法与完全归纳法为依据的重要解题方法之一；文中完全归纳法的例题之一，证明圆周角定理按圆心位置分三种情况讨论还隐含着分类思想．
　　《柱体和锥体的体积》一文中体积公式的推导是通过分割棱柱使之转化为棱锥而完成的，其中渗透了化归思想．《复数系是怎样建立的》这篇阅读材料则揭示了数形结合思想在推动虚数这一新的研究对象发生、形成和发展中所起的重要作用．《同频率正弦电流相加，频率不变》放在第411节“已知三角函数值求角”之后，是因为其内容要综合运用正弦的和角公式，函数中频率的概念和作用，以及已知角的正弦、余弦值求等知识，这里的可以看成参数．因此，本篇阅读材料不仅反映了数学知识在物理学科中的应用，还渗透了数学中的参数法等．数学思想方法是思维的工具，是形成数学能力的必要条件，而学生的数学思想和方法需要在教师平时教学的及时总结、不断提炼、悉心培养中形成．教师如果能从阅读材料中挖掘其中所蕴含的数学思想方法，对学生能力的提高会大有裨益．
　　总之，新教材中增加的23篇阅读材料，穿插于课文间有其不可替代的教育功能，教师若能深入领会阅读材料的编写意图，切实搞好教学，不仅能丰富课堂教学内容，而且使数学课更具有特色，有利于全面推进素质教育．