第二节 直线的方程

教学设计示例

直线方程的一般形式

教学目标：
　　（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化．
　　（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明
　　（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点．
教学重点、难点：直线方程的一般式．直线与二元一次方程 （ 、 不同时为0）的对应关系及其证明．
教学用具：计算机
教学方法：启发引导法，讨论法
教学过程：
　　下面给出教学实施过程设计的简要思路：
教学设计思路：
（一）引入的设计
　　前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：
　　问：说出过点 （2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？
　　答：直线方程是 ，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．
肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述．再看一个问题：
　　问：求出过点 ， 的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？
　　答：直线方程是 （或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．
　　肯定学生回答后强调“也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的最高次数为一次”．
　　启发：你在想什么（或你想到了什么）？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论．
　　学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：
　　【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？”
（二）本节主体内容教学的设计
　　这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路．
　　学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导．
　　经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论．首先让学生陈述解决思路或解决方案：
思路一：…
思路二：…
……
教师组织评价，确定最优方案（其它待课下研究）如下：
按斜率是否存在，任意直线 的位置有两种可能，即斜率 存在或不存在．
当 存在时，直线 的截距 也一定存在，直线 的方程可表示为 ，它是二元一次方程．
当 不存在时，直线 的方程可表示为 形式的方程，它是二元一次方程吗？
学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：
　　平面直角坐标系中直线 上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程 解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如 的二元一次方程是合理的．
　　综合两种情况，我们得出如下结论：
　　在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于 、 的二元一次方程．

至此，我们的问题1就解决了．简单点说就是：直线方程都是二元一次方程．而且这个方程一定可以表示成 或 的形式，准确地说应该是“要么形如 这样，要么形如 这样的方程”．

同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达？
学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式．
　　这样上边的结论可以表述如下：
　　在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如 （其中 、 不同时为0）的二元一次方程．
启发：任何一条直线都有这种形式的方程．你是否觉得还有什么与之相关的问题呢？
　　【问题2】任何形如 （其中 、 不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？
　　不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面．这是显然的吗？不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论．那么如何研究呢？
　　师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：
　　回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程 （其中 、 不同时为0）系数 是否为0恰好对应斜率 是否存在，即
　　（1）当 时，方程可化为      
这是表示斜率为 、在 轴上的截距为 的直线．
　　（2）当 时，由于 、 不同时为0，必有 ，方程可化为

　　这表示一条与 轴垂直的直线．

　　因此，得到结论：

　　在平面直角坐标系中，任何形如 （其中 、 不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线．

　　为方便，我们把 （其中 、 不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的．

【动画演示】
　　演示“直线各参数．gsp”文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线．
　　至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特殊形式的抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系．
（三）练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计在此从略

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