第三节 双曲线及其标准方程

教学建议

（一）教材分析

1．  知识结构

2．重点难点分析

重点：双曲线的定义及其标准方程．难点：双曲线标准方程的推导．

　　（1）双曲线的标准方程是在其定义的基础上推导的，所以我们对双曲线的定义应给与重视．双曲线的定义与椭圆定义类似，在理解时应注意：

　　①注意定义中的条件 的限定．若 ，则动点的轨迹为两条射线；若 ，则轨迹不存在．

　　②注意定义中的关键词“绝对值”．事实上若去掉定义中“绝对值”三个字，动点轨迹只能是双曲线的一支．

　　双曲线是平面内的点的集合， ,如果 , 双曲线将变成两条射线.

　　（2）根据双曲线定义求双曲线的标准方程，思想方法与推导过程和椭圆完全类似，但应注意椭圆标准方程的推导中，是令 ；而在双曲线标准方程的推导过程中，是令 ． ， ， 之间的关系不同，不要搞混．

　　（3）为什么要引入 ？这不仅是化简的需要，而且还有几何的实际背景， 就是虚轴的长．

　　（4）两种标准方程的双曲线的异同

　　中心在原点，焦点在 轴、 轴上的双曲线标准方程分别是 ， ．这两种双曲线的相同点是形状、大小相同，都有 ，不同点是两种双曲线相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同．

　　双曲线的焦点在 轴上 标准方程中 项的系数为正；

　　双曲线的焦点在 轴上 标准方程中 项的系数为正；

　　（5）在椭圆与双曲线的标准方程中，前者 ，后者 无大小关系．根据椭圆与双曲线标准方程判定焦点在哪条坐标轴上，前者是根据 项分母的大小来判定，后者是根据 项系数的正负来判定．

　　（6）形如 的方程，只要 符号相反， 就是双曲线方程．它可以化为 ．

　　（7）求双曲线的标准方程需要“定量”和“定位”。要求出双曲线的标准方程，就要求出 、 两个“待定系数”，于是需要两个独立的条件，按条件列出关于 、 的方程组，解得 、 的具体数值后，再按位置特征写出标准方程，因此“定量”是指 、 、 等数值的确定；“定位”则是指除了中心在原点以外，判断焦点在哪条坐标轴上，以便在使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，同时也就确定了 、 在方程中的位置．

（二）教法建议

    （1）讲解双曲线的定义和标准方程，建议采用类比的教学方法，参照讲解椭圆定义及标准方程来讲解；

    （2）教学中要注意启发学生的学习兴趣，在学生力所能及的情况下，尽量让学生自己去解决问题，培养学生的思考问题、分析问题和解决问题的能力；

　　（3）在引入双曲线的定义时，要注意对比椭圆的定义，讲清常数与焦点间距离的大小关系影响轨迹的形状，要让学生注意轨迹是双曲线的一支的情况；

　　（4）讲解双曲线的定义时，可以设置如下问题来帮助理解：问题一：如果点 到平面内两个定点 、 满足条件 ，则它的轨迹一定是双曲线吗？问题二：反过来，如果平面内一个点 的轨迹是双曲线，一定有 这一条件吗？

　　（5）提供以下题目以熟练双曲线的定义．

　　①方程 表示什么曲线．答案：双曲线；

　　②方程 表示什么曲线．答案：双曲线的右支；

　　③方程 表示什么曲线？答案：以点（0，4）为端点，沿着 轴正向的一条射线；

　　（6）教学时可以让学生利用双曲线的定义，亲自绘制一个双曲线，从中体会到轨迹是双曲线的条件，学生通过具体实际操作过程，不难发现并得出满足 且 条件时，才能是双曲线，反过来，也可以得到．如果点 的轨迹是双曲线，一定有 这一条件成立．教师可以总结“动点 到两个定点 、 的距离差的绝对值 ”是“点 轨迹是双曲线”的必要而不充分条件．

　　（7）在推导双曲线的标准方程时，由于学生有推导椭圆的标准方程的基础，所以可以让学生自己挑选坐标系，推导出双曲线的标准方程；

　　（8）教师要引导学生认清双曲线的基本量的个数是两个，通常我们选取 和 , 其余量 ．确定了 和 ，双曲线的大小、形状随之而定，同样确定一个双曲线的标准方程，也需要两个独立条件，当条件简单时，可直接求出 和 ，再代入双曲线的标准方程，当条件复杂时，可先设出双曲线的标准方程，用待定系数法解决 和 .

　　（9）让学生根据双曲线的定义或标准方程，设计一种画双曲线的方法．