第六节 抛物线的几何性质

教学建议

教材分析

1． 知识结构

2．重点难点分析

　　重点和难点是抛物线的几何性质及其运用．关键是正确地根据方程讨论曲线的几何性质，并注意椭圆、双曲线、抛物线的性质的联系与区别．

　　（1）根据由方程讨论曲线性质的一般方法，就可以得出抛物线的性质．抛物线的性质与椭圆、双曲线相比较，差别较大．它的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它不是中心对称图形，因而没有中心．

　　（2）抛物线不是双曲线的一支，这可以从以下三个方面来理解：

　　①从圆锥曲线的定义来看，虽然双曲线与抛物线有其共同点，但由于比值 的取值不同，从而双曲线与抛物线上的点的性质存在着差异；

　　②曲线的延伸趋势不相同，当抛物线 上的点趋于无穷远时，它在这一点切线的斜率接近于 轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于与 轴平行；而双曲线上的点趋近于无穷远时，它的切线的斜率接近于它的渐近线的斜率．

　　③双曲线有渐近线而抛物线没有渐近线．

　　（3）抛物线的离心率是定值1，它说明所有的抛物线都相似，即所有的抛物线形状都相同．

　　（4）通过抛物线的焦点垂直于对称轴的弦 称为抛物线的通径，并且 ．根据顶点和通径的两个端点 ， ，结合上文中提到的抛物线的延伸趋势，就可以较准确地画出抛物线的草图．由通径的定义我们还可以看出， 刻画了抛物线开口的大小， 值越大，开口越宽； 值越小，开口越窄．

　　（5）掌握抛物线的性质，重点应抓住两点（一个顶点、一个焦点）、两线（一条对称轴和一条准线）、一率（离心率）、一方向（开口方向）．在图中，常见的关系式有：

， ， ．

教法建议

　　（1）四种标准方程下抛物线的几何性质，可由学生列表进行对比，并让学生区分哪些是抛物线的固有性质，哪些是与坐标系有关的性质．

　　（2）由于椭圆、双曲线、抛物线的标准方程都不止一种形式，在根据已知条件求圆锥曲线方程时，教师要让学生注意根据已知条件确定标准方程的类型和判定有几解的问题．

　　（3）要教会学生怎样讨论曲线的性质

　　在中学里，除了直线这种简单的情况外，对于较为简单的曲线，讨论其几何性质一般包括以下四个方面：

　　①确定曲线的范围．由曲线方程 分别确x与y的取值范围，从而分别判断曲线的左、右与上、下部分的“顶点”的分布情况．

　　②判断有没有对称性，在曲线方程 中，如果把x（或y）换成－x（或－y），方程不变，那么曲线关于y（或x）由对称；如果把x与y同时换成－x与－y，方程不变，那么曲线关于原点对称（这时曲线关于x或y轴去不一定对称）．

　　③求出在x轴上的“截距”（即求出曲线x轴的交点的横坐标）和y轴上的“截距”（即求出曲线与y轴的纵坐标．）这可以通过解由 与 （或 ）所组成的方程组求得．注意曲线与坐标轴的交点不一定是曲线的“顶点”．

　　④判断有没有渐近线，对于椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线，还要研究它的离心率在数值上有什么特征，等等．

　　（4）要和学生一起小结求直线与圆锥曲线的交点的一般方法

　　在解析几何中一般用解方程的方法来求出直线与圆锥曲线的交点的坐标．例如为了求直线 与椭圆 的交点，可以解方程组：

　　这个方程组的解同时满足两个方程，因此以方程组的解为坐标的点是两个方程所对应的两条曲线的公共点，如果方程组无实数解，则表示直线与椭圆相离（无交点）；如果有且只有一个实数解，则表示直线与椭圆相切（有且只有一个交点）；如果有两个不同的实数解，则表示直线与椭圆相交（有两个不同的交点）．

　　那么，怎样让学生判断上面方程组的解的个数呢？可以告诉他们先从两个方程中消去一个变量（例如消去y），得到关于另一上变量（例如x）的一个一元二次方程，然后利用根的判别式 来作判断，就是说，当 时，方程组有且只有一个实数解（不要说有两个相联系的实数解，重根只对一元n次方程有意义）；当 时，方程没有实数解．

　　（5）在解决与圆锥有关的问题时，要帮助学生运用方程的思想．

　　有些与圆锥曲线有关的问题，最终归结为某些数值的确定，我们把这些数看成未知数，把题目中给定的条件、关系转换成这些未知数所满足的方程（组），通过解此方程（组）来确定这些数的取值，从而解决问题．这里的难点是未知数的确定、列方程（组）及解方程（组）．

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