第五节 复数的乘法与除法
典型例题
例1 计算 。
解法1:原式
解法2:原式
小结:一定要熟记 , , , 等。
例2 复数 等于( )
A. B. C. D.
分析: 可利用
与 形式非常接近,可考虑 ,利用 的性质去简化计算.
解:
∴ 应选B.
注意:要记住1的立方根,1, , ,以及它们的性质,对解答有关问题非常有益.
例3 求
分析1:可将复数式进行乘、除运算化为最简形式,才取模.
解法1:原式
分析2:积或商的模可利用模的性质 , ( )进行运算.
解法2:原式
小结:比较解法1和解法2,可以看到后一种解法好.解此类问题应选用后种解法.
例4 已知 是纯虚数,求 在复平面内对应点的轨迹.
分析:利用Z为纯虚数 来解.
解法2:∵ 是纯虚数,
∴ (且 , )
∴ ,
∴
设 ( )
则 ( )
∴ 的对应点的轨迹以( ,0)为圆心, 为半径的圆,并去掉点(0,0)和点(1,0).
典型例题
例5 设 为复数, ,那么( )
A. {纯虚数} B. {实数}
C.{实数} {复数} D. {虚数}
解:∵ ,即 ,
∴ ,故 ,或
所以 为实数.
∴ 应选B.
小结:在复数集中,要证复数 为实数,只须证 我们有如下结论.复数 为实数的充要条件是
例6 若 , ,试求
解:∵ ,
∴
又知 ,
∴
设 ( ),则 ,
∴
即 ,
由复数相等定义 解得
∴
故
小结:下面这些共轭复数运算式,对于解答有关共轭复数问题十分重要,应掌握好.
设
(
)的共轭复数为
,
则:
;
;
; ; ;
; ( ); ( )
例7
(1)已知
,
,
求证:
(2)已知 , ,且
求证: , 中至少有一个是1.
证明:(1)
∴
(2)∵ ,∴
即
变形为 ,
或 ,可得 ,或 ,
∴ , 中至少有一个是1.