第四节 电场中的导体

带同种电荷的物体也可以相互吸引

　　C· ·福里斯，A·B·季莫列娃所著的世界名著《普通物理学》第二卷第一分册（1979）第3页中说：“带同号电荷的物体（例如都带正电荷）互相排斥；带异号电荷的物体则互相吸引”．仔细研究可以发现这种说法欠妥．只有当带电体纯属点电荷时，说法才正确，除此之外，情况就不是这么简单，应具体问题作具体分析．

　　如图所示，两个带电的金属球，它们的半径各为 与 ，所带的电量分别为 和 ．如果 和 同号，两个金属球之间的作用力一定是排斥的吗？要知道，这里的情况和两个点电荷情况不同，因为有感应电荷出现，情况比较复杂，答案必须根据具体情况进行分析计算．结论如下：

 　　（1）若当 与 等量同号，且 ，则两球之间始终表现为斥力．

　　（2）若 与 异量同号，且 ，则在相距较远时，两球可当作点电荷，它们之间是斥力．当两球相距较近或所带电量差别悬殊时，由于感应的影响，一部分球面上的斥力与另一部分球面上的吸引力可能互相抵消，也可能吸引力大于斥力，以致彼此相吸引！

　　对于上述结论，为避免冗长烦琐地数学计算，我们仍采用电力线性质定性加以证明．

　　我们先讨论两球带等量同号电荷的情况．在“电力线及其应用”一节中，我们将会征得如下结论：“两个导体中（不论电荷量如何），至少有一个导体其表面上各点的面电荷密度不会异号．”但由于两球半径相等，电量相等，电势也总是相等，依对称性又不能出现一个球上仍保持表面各点的电荷面密度同号，而另一个球上出现异号的情况．据此，当两球距离变化时，电荷面密度只能在同号电荷范围内变化，作用力是斥力的性质保持不变．

　　其次，我们讨论两球带异量同号电荷且球半径不等的情况．为确定起见，假定两球原来带的是正电荷（若是负电荷可同样论证），根据与上面类似的讨论可以肯定，两球中至少有一球（带电量多的球面上不会出现异号电荷，否则会导致矛盾的结果）．若两球的带电量相差不大，相距又较远，则带电量小的球面上也不会感应出异号电荷．这时，两球的电势虽不相等，但不会有起始于一个球面而终止于另一球面的电力线，因此它们之间的相互作用力是排斥力．当两球的带电量的差别增大到一定程度，两球距离较近时．带电量小的球面上会感应出异号电荷，这时开始有部分电力线起始于一个球面而终止于另一个球面，两球面上与此相关的电荷之间存在着吸引作用；但其余的大部分电力线仍分别是从两球面发出（相应于球面带正电荷）而终止于无穷远或起始于无穷远而终止于球面（相应于球面带负电荷），两球面上与此相关的电荷之间存在着排斥作用．总的效果仍表现为排斥力．随着两球电量的差异的不断增大，或两球间距不断减小，相互间的排斥力也不断减小，可以想象，当达到 某一临界态时，合力刚好为零，即在这种情况下，两球之间没有力的作用．很明显，若再进一步增大两球带电量的差别或缩短两球的间距，则它们之间就会产生吸引力．

　　为了更进一步说明问题，我们再举一个能定量讨论的例子．

　　设有一个半径为R的金属球，带有电荷Q，距球心O为a（a＞R）的地方再放置一个点电荷q，如图所示．Q与q是同种电荷（例如都是正电荷），则根据电像法，不难求出这时q与金属球上电荷之间的相互作用力为：

    （1）

显然F＞0时相互排斥， 时相互吸引．由（1）式可见，当：

                    （2）

时，q与金属球便会相互吸引，具体可在下列情况下出现．

　　（1）Q很小．对于给定的q、R、a而言，只要Q足够小，（2）式总是可以满足的．从物理本质上看，如果Q=0，即金属球原来不带电，则在q出现后，球面上便会产生感应电荷，靠近q那侧球面总是出现与q相反的负电荷，远离q那侧球面总是出现与q相同的正电荷．因此球上负电荷吸引q的力便大于球上正电荷排斥q的力，结果q受整个球上电荷的作用力总是吸引力．如果再把Q（正电荷）放在球上，则不管怎样分布，Q作用在q上的力总是排斥力，但当Q足够小，以致于排斥力小于感应电荷对q的吸引力时，q受到球上电荷总的作用力便仍然是吸引力．

　　（2）（a－R）很小（即q离球面很近）．这时．接近R，故（2）式右边分母很小，因而（2）式同样可以满足．从物理本质上看，这时q很靠近球面，在球面上感应出来的负电荷很多，因而吸引力就很大．所以只要q离金属球足够近，则q与球上电荷之间的作用力就总是吸引力．

为什么两条电场线不能相切？

    在电场的教学中，我们在讲解两条电场线为什么不能相交时，一般都采取教参中的说法，即如果两条电场线相交，则在交点处电场强度的方向有两个，分别为两条电场线在此点的切线方向，如图1所示．这显然是不可能的，所以两条电场线不能相交．这种解释条理非常清楚，学生易于接受．但这种解释有一个缺陷，那就是不能说明两条电场线为什么不能相切．在如图2所示情形中，A、B两条电场线相切于P点，如果用上述说法来解释，则A、B两条电场线的切线方向可能为同一条方向，即C所指方向，这样，在切点P处的电场强度方向也就只有一个．显然，上述说法不能解释两条电场线为什么不能相切，教参对此也没有说明．我们在教学过程中也很容易忽视这一点，学生根据上述解释，就很容易得出两条电场线可以相切的错误结论．

    那我们应该怎样来解释两条电场线为什么不能相切呢？

    为了使电场线不仅能描写场强方向也能描写场强大小，我们引入电场线密度的概念．在电场中任一点取一小面元 与该点场强方向垂直，设穿过 的电场线有 根，则比值 叫做该点电场线密度，它的意义是通过该点单位垂直截面的电场线根数．在作电场线图时，我们总是使电场中任一点的电场线密度与该点场强大小成正比，即 ，这样电场线密的地方电场强度大，电场线稀的地方电场强度小．如图3所示，由电场线的性质有a处电场强度比b处大．从图2可知，越靠近切点P， 越趋近于零， 有限， 的极限为无穷大，则在切点P，E为无穷大，这显然是不可能的，这就是两条电场线为什么不能相切的原因．在教学过程中可以这样来进行，在图2中，A与B两条电场线越靠近切点P，可以认为电场线越来越密，电场强度越来越大；在切点P，电场线密度为无穷大，即电场强度无穷大，这是不可能的，所以两条电场线不能相切．这样进行解释，学生易于接受．讲完这一点后，紧接着进行总结：两条电场线为什么不能相交是用到了电场线的一个性质，即电场强度的方向沿电场线的切线方向．而解释两条电场线为什么不能相切则用到了电场线的另一性质，即电场线的密部场强大、电场线的疏部场强小．