第七节 电势差与电场强度的关系

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电势差与电压

　　现行中学物理教材对电势差、电压的定义为：“电场中两点间的电势差值叫做电势差。有时又叫做电压。”有的参考书上电势差也叫电压降。但学生往往把电压与电势差当作同一个物理概念来理解和应用，至少把电势差和电压是当作同义词。这里我们要问，电压与电势差到底是不是同一个概念？详细的分析说明，电压与电势差具有不同的涵义，电势差是电压，但电压不一定就是电势差。这正如重力是一种力，而力不一定都是重力的道理是一样的。

　　电势和电势差是与有势场（即所谓的保守力场）密切联系的物理量。在具有势的静电场和稳恒电场中，任意两点间的电势差值等于电场力从电场的一点沿任意路径将单位正电荷移到另一点所作的功，两点间的电压就是两点间的电势差，并且由这两点的位置单值地决定，即a、b两点间的电压为：

                                     （l）

式中E可以是静电场、稳电场， 分别是有势场中a、b两点的电势。因此，在静电场和稳恒电场中，电压和电势差是同义词。在非势场中，如由变化的磁场所激发的感应电场中，电势和电势差已失去意义。在这种非势场中，首先，移动电荷的力不是静电力而是感应电场产生的非静电力，其次这种非静电力作功不仅与电荷的始末位置有关，而且还与电荷具体的运动路径有关。在非势场中，电压的定义应是：两点间沿某一路径的电压在数值上等于非静电力将单位正电荷从一点沿所论路径移动到另一点所作的功，即a、b两点电压为：

             （2）

式中 是非静电力的非静电场强，在感应电场中就是感应场强 。可见，在无势电场中，任意两点间的电压必须指明确定的路径才有意义，否则，两点间的电压有无数个值。

　　为了对电压与电势差的区别有更明确的认识，让我们再看一个实例。在变压器的铁芯上套一只粗细均匀的金属环，环上a、b两点将环等分为两段（如图 ）。当变压器原线圈中的变阻器滑头从A点匀速滑到B点时，穿过金属环的磁通量均匀增加．根根法拉第电磁感应定律可知，金属环中就会出现感应电流，方向如图所示。设感应电流为I，金属环的总电阻为R，试问，此时，a、b间的电势差为多少？哪点电势高？

因为在这种情况下，驱使金属环中自由电子运动的力不是静电力而是变化磁场所产生的感应电场力，感应电场是一个非势场，所以根本就谈不上有什么电势和电势差，更谈不上哪点电势高。但是，根据欧姆定律，电流通过ab这段电路时应有 的“电压降”。如果按电势差就是“电压降”的观点来考虑问题，那么，a点的电势高呢还是b点的电势高呢？显然，在这里是无法回答的，因为电流I在金属环中形成环流。在这里，使金属环内自由电子定向移动形成环流而不断地克服欧姆电阻作功的力是感应电场力。不管是静电力还是非静电力，凡是能引起自由电荷定向移动形成电流而不断克服欧姆电阻做功的过程，都表现有电压的作用。事实上，上边根据欧姆定律算出的“电压降” 与按（2）式算出的电压 是完全一致的。

　　可见，电压和电势差确是两个不同的电学概念，电压比电势差的外延广泛，把电压定义为静电力移动单位正电荷从一点到另一点所作的功，是不能完全反映电压这一概念的。

　　事实上，根据前面的（1）和（2）式，我们可以得到电压的广义定义是：电场强度E沿路径lab的线积分称为此路径的电压。即：

                                            （3）

现在式中E可以是静电场、稳恒电场，也可以是非静电场（如感应电场）的电场强度。

　　最后必须指出，关于非势场中电压的定义是个很复杂的问题，对此，《大学物理》曾展开过热烈的评论并作过“来稿综述”，但仍未取得一致同意的非势场电压定义。其中《大学物理》1983年第一期卡伯达同志的“变化电磁场中电压和电势差的概念”一文，《大学物理》1984年第八期沈祖臻同志的“电压的定义”一文很有典型性，它们分别代表着非势场中电压定义的两种不同意见。本节所述的非势场中的电压定义以及有关观点只是在目前对非势场中电压定义本取得一致意见情况下的一些浅见，仅供读者参考。

孤立导体的电势与所带电量成正比是唯一性定理的必然结果

　　众所周知，一半径为R的孤立导体球，若使之带电Q，则其电势为：

      （1）

这里我们取无穷远处为电势参考点，显见导体球的电势与所带电量成正比。其实此结论具有普遍性，即“结论”对任何形状的孤立导体都是正确的。对于这样的一个普遍结论，多数参考书都强调为实验结果，少数参考书仅作定性而又简短说明。然而笔者认为所述普遍结论可用静电场唯一性定理定量推证。

考虑一任意形状的孤立导体，当带电Q时，其周围空间任一点将激发确定的电场E，其本身有确定的电势U。今设想孤立导体的电量扩大K倍，即令：

      （2）

试问，此时孤立导体的电势是否也扩大K倍？回答是肯定的，问题是如何加以证明。

　　为此，我们假设（纯属猜想）孤立导体电量扩大K倍后，其周围空间任一点的电场强度也扩大大倍，即 。

因为原问题（指孤立导体带电Q时）的场方程为；

           （3）

所以，当孤立导体带电 时，有：

      （4）

即：                      （4′）

可见，猜想的 符合相应的静电场方程。下面让我们再看边界条件。

因为孤立导体外紧靠导体表面的场强为 （ 为导体表面的外法线方向单位矢），所以：

     （5）

以上 为孤立导体带Q电量时的表面面电荷密度， 为孤立导体带 电量时的表面面电荷密度。于是，由（5）式可得：

（5）、（6）两式表明，猜想的场强 也满足给定的边界条件。

　　既然猜想的场强既满足场方程又满足给走边界条件，那么根据静电场唯一性定理可推知 是所论问题的唯一真解。

进而我们可计算出电量扩大K倍后的孤立导体的电势为：

      （7）

很明显，（7）式正是我们所期望的结果。

最后，联立（2）与（7）式可得：

      （8）

（8）式表述得很清楚，任意形状的孤立导体的电势与所带电量成正比，显然，它就是行文开始时所述的普遍结论。

　　综观以上分析、推证可见，从静电场整体理论看问题，孤立导体的电势与所带电量成正比决不是一个简单的实验结果，（事实上，孤立导体是一个理想模型，它在实验中是很难实现的。）而是静电场唯一性定理的必然结果！