如何帮助学生掌握三角函数的图像和性质

　　如何帮助学生掌握三角函数的图像和性质

　　1、三角函数图像的作法与其它函数的图像的作法相同，基本步骤应该是：

　　（1）确定函数定义域，值域；

　　（2）研究单调性与奇偶性等性质；

　　（3）取关键点列表描点；

　　（4）结合函数的变化速度与变化趋势连线作图；

　　2、与其它函数不同的就是周期性，体会最小正周期，与起点的位置无关；

　　3、三角函数线是三角函数的几何定义，它把三角函数值准确的用有向线段的数量表示出来，这为准确描点提供了保障；

　　4、由于图像本身就是函数的定义的一种形式，所以对函数图像的研究就显得非常的重要，而函数的性质都写在函数的图像上，所以不必太追究性质是什么、分几条，而应该让学生学会读懂函数的图像语言，会运用函数的图像解题就可以了；

　　5、所谓深入思考就是体会函数=Asin(wx+q)+b中的各个参数对函数图像的影响，对性质的影响，这一点应该与其它函数对照研究；

　　6、关于正弦与余弦函数图像与性质的再思考

　　（1）单调区间的长度为最小正周期长度的一半，单调区间的两个端点是函数取到最值的点；

　　（2）函数图像与x轴（平衡位置）的交点都是它们的对称中心，过最大或最小值点垂直于x轴（平衡位置所在的直线）的直线都是它们的对称轴。相邻的对称中心或是两个对称轴之间的距离应该是周期的一半；

　　（3）两个函数图像形状相同，只是在坐标系中的位置不同，它们左右位置差周期的1/4；

　　（4）对于函数y=Asin(wx+q)+b或y=Acos(wx+q)+b来说，对以上三条只需进行稍微的修改即可。

　　有好多的学生在平移与伸缩变换的时候会混淆，知其然不知所以然……。下面提出几个问题，请各位朋友一起思考，你们在教学的时候是否对它们进行了研究？

　　1、对于平移口诀：“左加右减，上加下减”的理解……左是x轴的负半轴，为什么要加呢？右是x轴的正半轴，为什么要减呢？上是y轴的正半轴，加就好理解了，下是y轴的负半轴也是一回事。

　　2、对于左右平移与横坐标的伸缩变换，如果先后顺序倒置，则平移的量就可能不一致，这是为什么呢？

　　3、把平移与伸缩变换推广到一般情况应该是什么样的？关键在什么地方？

　　4、左右与上下平移变换与沿某向量平移的关系如何？

　　5、对函数的平移与对曲线的平移有区别吗？

　　6、平移函数的图像与坐标变换怎样进行区别？各有什么优点？

　　1、对于平移口诀：“左加右减，上加下减”的理解……左是x轴的负半轴，为什么要加呢？右是x轴的正半轴，为什么要减呢？上是y轴的正半轴，加就好理解了，下是y轴的负半轴也是一回事。

　　这个问题其实是这样的：向左移，每点的横坐标都在减少，应该把横坐标减去移动的量。但是，你必须把函数式y=f(x)变成x=g(y)的形式之后完成。比如：你把函数图像向左平移了2个单位，那么，函数式x=g(y)应该变为：x=g(y)-2。而这个式子变形之后就是：y=f(x+2)了。

　　别的还用说吗？

　　2、对于左右平移与横坐标的伸缩变换，如果先后顺序倒置，则平移的量就可能不一致，这是为什么呢？

　　同问1的回答：把函数y=f(x)变形为x=g(y)，如果向右平移a个单位，则变为x=g(y)+a，再伸缩为原来的b倍，则变为x=b[g(y)+a]，解得：y=f[(1/b)x-a]；如果横坐标先伸缩为原来的b倍，则变为x=bg(x)，再向右平移a个单位，则变为x=bg(y)+a，解得：y=f[1/b(x-a)]。显然所得两函数表达式不同……

　　3、把平移与伸缩变换推广到一般情况应该是什么样的？关键在什么地方？

　　（1）如果把函数y=f(x)的图像向左平移a个单位，然后再把每个点的横坐标变为原来的b倍，则所得图像对应的函数解析式为：y=f(bx+a)；

　　（2）如果把函数y=f(x)的图像每个点的横坐标变为原来的b倍，然后再把图像向左平移a个单位，则所得图像对应的函数解析式为：y=f[b（x+a)]；

　　仔细分析，左右的平移与每点横坐标的伸缩都是对自变量x而言的，只对x做相应的处理。

　　4、左右与上下平移变换与沿某向量平移的关系如何？

　　左右的平移就是向量的横坐标，上下的平移就在于向量的纵坐标，横与纵坐标的符号代表平移的方向。目标相同，路径不同罢了。

　　5、对函数的平移与对曲线的平移有区别吗？

　　函数本身就是方程，所以函数图像就是曲线，所以对曲线的平移方法可以直接用到函数中来。但是，对函数图像的平移口诀“左加右减”不可以直接用到曲线的平移之中……原因应该由上面的可以知道了。

　　6、平移函数的图像与坐标变换怎样进行区别？各有什么优点？

　　这两者都可以完成同样的事，那就是简化我们要研究的函数表达或是曲线的方程，优点也与些类似。各自的优点可以通过例题来体会，不多述了。