2013年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试

(考试时间：80分钟 满分：120分)

姓名：_____________考试号：______________得分：____________

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

1. 函数
的值域是___________

2. 设a, b, c为RT△ACB的三边长, 点(m, n)在直线ax+by+c=0上. 则m2+n2的最小值是___________

3. 若
，且
为正整数，则

4. 掷6次骰子, 令第
次得到的数为
, 若存在正整数
使得
的概率
，其中
是互质的正整数. 则
= .

5. 已知点
在曲线y=ex上，点
在曲线y=lnx上，则
的最小值是_______

6. 已知多项式f (x)满足：
, 则
_________

7. 四面体OABC中, 已知∠AOB=450,∠AOC=∠BOC=300, 则二面角A－OC－B的平面角
的余弦值是

__________

8. 设向量
满足对任意
和θ∈[0, ],

恒成立. 则实数a的取值范围是________________.

二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）

9．设数列
满足
,
.求证：当
时,
. (其中
表示不超过
的最大整数)．

10. 过点
作动直线
交椭圆
于两个不同的点
，过
作椭圆的切线，

两条切线的交点为
， ⑴ 求点
的轨迹方程；

⑵ 设O为坐标原点，当四边形
的面积为4时，求直线
的方程.

11. 若
、
、
，且满足
，求
的最大值。

2013年全国高中数学联赛模拟卷(2)答案

1.解：令sinx+cosx=t, 则t=
,2sinxcosx=t2－1,

关于t+1在
和

上均递增,所以,
或
, 即值域
.

2. 解：因(m2+n2)c2=(m2+n2)(a2+b2)=(ma)2+(nb)2+(mb)2+(na)2

≥(ma)2+(nb)2+2mnab=(ma+nb)2=c2, 所以m2+n2≥1, 等号成立仅当mb=na且am+bn+c=0,

解得(m, n)=(
), 所以m2+n2最小值是1.

3. 解：由
知
可能为1,3, 11, 33, 从而解得

4.解:当
时，概率为
;当
时,
，概率为
；

当
时，
，概率为
；

当
时，
，概率为
；

当
时，
，概率为
；当
时，概率为
；故

,即
,从而
.

5. 解：因曲线y=ex与y=lnx关于直线y=x对称．所求
的最小值为曲线y=ex上的点到直线y=x最小距离的两倍,设P(x, ex)为y=ex上任意点, 则P到直线y=x的距离
,

因
,所以,
,即
min=
.

6.解: 解：用
代替原式中的
得：

解二元一次方程组得
，所以：
，则
．

（分析得
为一次多项式，可直接求
解析式）

7. 解:不妨设AC⊥OC⊥BC,∠ACB=
,∠AOC=∠BOC=
,∠AOB=
.

因
=

即
，

两端除以
并注意到

, 即得
,

将
=450,
=300代入得
, 所以,
.

8.解:令
则
,

,

因
,

所以,

对任意
恒成立

或
或
对任意

恒成立
或
.

9. 证明：对于任何正整数
，由递推知
．由
知数列
递减.

又对任意
,

．即有
,从而
.于是，

当
时，
；

当
时，由
递减得
.

故

．所以，
.

10. 解（1）依题意设直线
方程为
，与椭圆联立得

，
，由
得

设
，则过
椭圆的切线分别为
……①和
……②

①
②
，并且由
及
得
，

同理
，故点
的轨迹方程为
（在椭圆外）

（2）
，O到PQ的距离为
，M到PQ的距离为

，
，

四边形
的面积

当
时解得
或
，直线
为
或

11. 解:由均值不等式得

,

∴

,等号成立当且仅当
, 故
的最大值为100 .

2013年全国高中数学联赛模拟卷(2)第一试

(考试时间：80分钟 满分：120分)

姓名：_____________考试号：______________得分：____________

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

1、某天下午的课程表要排入物理、化学、生物和两节自习共5节课，如果第1节不排生物，最后1节不排物理，那么不同的排课表的方法有__________种.

2、函数f (x)的定义域为D，若满足①f (x)在D内是单调函数，②存在[a, b](D，使f (x)在[a, b]上的值域为[a, b]，那么y=f (x)叫做闭函数，现有
是闭函数，那么
的取值范围是_________

3、如图，在△ABC中，
,

，

则过点C，以A、H为两焦点的双曲线的离心率为 _________

4、一个单位正方形的中心和一个圆的圆心重合，并且正方形在圆的内部，

在圆上随机选一点，则由该点可以看到正方形的两条完整的边的概率为，则该圆的半径为________

5、有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为
，现用一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸，但可以折叠)，那么包装纸的最小边长应为____________．

6、若实数a, b, x, y满足

，
，
，则
________

7、设对于任意满足
的自然数
，
有不等式
恒成立，则
的最大值为__________

8、 圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的比为_______

二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）

9．已知正实数
，设
，
. （1）当
时，求
的取值范围；

（2）若以
为三角形的两边，第三条边长为
构成三角形，求
的取值范围.

10. 已知数列{an}：
，
⑴ 证明：

⑵ 求出所有的正整数
，使得
为完全平方数.

11. 设
为正实数，且
．证明：
．

2013年全国高中数学联赛模拟卷(2)答案

1、由容斥原理知，有
种.

2、
在[－2, +∞)有两不等实根． 设
，则
在

[0, +∞)有两个不等实数根，则
且
解得
．

3、取AB的中点D, 则
, 由
得
, 即
.

故△ABC的底边AB上的高线与中线重合. 从而△ABC是等腰三角形. AC=BC. 由
知,

. 由
, 知
,
，则
.

在Rt△ACH中, 不妨设CH=3, 则AH=4, BC=AC=
=5.

故以A、H为两焦点的双曲线的离心率为
.

4、在正方形相邻边所夹的劣弧上，可以看到完整的两条边。而由题设“可以看到正方形的两条完整的边的概率为”，可知延长正方形的边与圆的8个交点将圆周8等分．可以得到圆半径为
．

5、将正四棱锥的侧面向外展开到底面，则4个侧面三角形的顶点所构成的正方形即为最小正方形，

边长为
．

6、因为
，所以
．

所以
．即
……⑴

因为
，所以
．

所以
．即
……⑵

由⑴、⑵,解得
，
．

又因为
，所以
．

所以
．所以
．

注：用递归数列也可求解．

7、 原不等式
．
，
． ∴
．

8、任选4点，共有
个凸四边形，其中梯形的两条平行边可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以从不平行于直径的4条平行弦中选取，除去矩形，梯形共有60个，所以，梯形所占的比为
．

9、解：（1）∵
，且
∴

又
， 结合二次函数的图像知
，故
的取值范围为

另解：
=
，

，得
的取值范围为

（2）设
，则
，
恒成立，

即
，
恒成立，

令
，由于
在
是增函数，令
，

则
又

，得
的取值范围为

10、解
，
我们用归纳法证明.

（*）

（1）当
时，结论成立.

（2）假设当

时，结论成立。即

又由于
代入上式可得：
……①

则当
时，


（由①）

故当
时，结论成立，即（*）式成立.

又
可知：

则

，

设


则

知：

又
且

故
或
故
或
（舍去）

则当
时，满足条件.

11.证明 因为
，要证原不等式成立，等价于证明

…… ①

事实上，