2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．

1．设方程
的根大于
，且小于
，则实数
的范围是 (-1,3) ．

2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为
．

3．设实数
，
满足
，则
的最大值与最小值之差是 。（似乎出错）

4．若存在正实数
，
满足
（
是虚数单位，
），则
的最小值是 3 ．

5．若三角形
的三边
，
，
成等差数列，则
的取值范围是
．

6．若数列
满足
，
（
），则满足条件的
的所有可能值之积是 0 ．

7．已知
，则
364 ．

8．设
，
，且满足
，则
的最大值为
．

9．已知正四面体
的棱长为9，点
是面
上的一个动点，满足
到面
、
、
的距离成等差数列，则
到面
距离的最大值是 ．（未学）

10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 12 ．

二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．

11．设
为实数，
，椭圆
与椭圆
交于点
和
，
的左顶点为
，
的右顶点为
（如图），若四边形
是正方形，求实数
．

解：BD=6-k=AC

又AC=

得k=

12．如图，梯形
中，
、
关于对角线
对称的点分别是
、
，
、
关于对角线
对称的点分别是
、
．证明：四边形
是梯形．

连A’O,B’O,C’O,D’O 易证 A’,O,C’; B’,O,D’共线（角度），由比例线段证毕。

13．设实数
，
满足
．证明：
．

解： 记f(x)=

则f’(x)=

令f’(x)=0 ，则x=

所以 x<0.2196时 f’(x)>0 , x>0.2196时 f’(x)<0

所以f(a)≥min{f(0),f(1)}=1

f(b)≤f(0.5)=1

所以f(b)≤f(a) ，证毕。

14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．

根据抽屉原理，必定存在34个点同色。该34个点连成34*33/2=561条线段。

考虑这561条线段的垂直平分线，显然它们都是正100边形的对称轴。正100边形的对称轴有200条，所以必定存在3条线段它们的垂直平分线重合。

所以这3条线段两两平行，其中必有两条不等长，于是构成等腰梯形四个顶点且同色，证毕。