高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系

,
.

2.德摩根公式

.

3.包含关系

4.容斥原理

.

5．集合
的子集个数共有
个；真子集有
–1个；非空子集有
–1个；非空的真子集有
–2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式
;

(2)顶点式
;

(3)零点式
.

7.解连不等式
常有以下转化形式

.

8.方程
在
上有且只有一个实根,与
不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程
有且只有一个实根在
内,等价于
,或
且
,或
且
.

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数
在闭区间
上的最值只能在
处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若
，则
；

，
，
.

(2)当a<0时，若
，则
，若
，则
，
.

10.一元二次方程的实根分布

依据：若
，则方程
在区间
内至少有一个实根 .

设
，则

（1）方程
在区间
内有根的充要条件为
或
；

（2）方程
在区间
内有根的充要条件为
或
或
或
；

（3）方程
在区间
内有根的充要条件为
或
.

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间
的子区间
（形如
，
，
不同）上含参数的二次不等式
(
为参数)恒成立的充要条件是
.

(2)在给定区间
的子区间上含参数的二次不等式
(
为参数)恒成立的充要条件是
.

(3)
恒成立的充要条件是
或
.

12.真值表

ｐ

ｑ

非ｐ

ｐ或ｑ

ｐ且ｑ



真

真

假

真

真



真

假

假

真

假



假

真

真

真

假



假

假

真

假

假



 13.常见结论的否定形式

原结论

反设词

原结论

反设词



是

不是

至少有一个

一个也没有



都是

不都是

至多有一个

至少有两个



大于

不大于

至少有
个

至多有（
）个



小于

不小于

至多有
个

至少有（
）个



对所有
，

成立

存在某
，

不成立



或



且



对任何
，

不成立

存在某
，

成立



且



或





14.四种命题的相互关系

原命题　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命题

若ｐ则ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ则ｐ

　　　　　　　互　　　　　　　互

　　互　　　　　　　　为　　　为　　　　　　　　互

　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否

　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　否　　　　　　 否

否命题　　　　　　　　　　　　　　　逆否命题　　　

若非ｐ则非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ则非ｐ

15.充要条件

（1）充分条件：若
，则
是
充分条件.

（2）必要条件：若
，则
是
必要条件.

（3）充要条件：若
，且
，则
是
充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性

(1)设
那么

上是增函数；

上是减函数.

(2)设函数
在某个区间内可导，如果
，则
为增函数；如果
，则
为减函数.

17.如果函数
和
都是减函数,则在公共定义域内,和函数
也是减函数; 如果函数
和
在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
是增函数.

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数
是偶函数，则
；若函数
是偶函数，则
.

20.对于函数
(
),
恒成立,则函数
的对称轴是函数
;两个函数
与
的图象关于直线
对称.

21.若
,则函数
的图象关于点
对称; 若
,则函数
为周期为
的周期函数.

22．多项式函数
的奇偶性

多项式函数
是奇函数

的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数
是偶函数

的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数
的图象的对称性

(1)函数
的图象关于直线
对称

.

(2)函数
的图象关于直线
对称

.

24.两个函数图象的对称性

(1)函数
与函数
的图象关于直线
(即
轴)对称.

(2)函数
与函数
的图象关于直线
对称.

(3)函数
和
的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数
的图象右移
、上移
个单位，得到函数
的图象；若将曲线
的图象右移
、上移
个单位，得到曲线
的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系

.

27.若函数
存在反函数,则其反函数为
,并不是
,而函数
是
的反函数.

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数
,
.

(2)指数函数
,
.

(3)对数函数
,
.

(4)幂函数
,
.

(5)余弦函数
,正弦函数
，
，

.

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）
，则
的周期T=a；

（2）
，

或
，

或

,

或
,则
的周期T=2a；

(3)
，则
的周期T=3a；

(4)
且
，则
的周期T=4a；

(5)

,则
的周期T=5a；

(6)
，则
的周期T=6a.

30.分数指数幂

(1)
（
，且
）.

(2)
（
，且
）.

31．根式的性质

（1）
.

（2）当
为奇数时，
；

当
为偶数时，
.

32．有理指数幂的运算性质

(1)
.

(2)
.

(3)
.

注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

.

34.对数的换底公式

(
,且
,
,且
,
).

推论
(
,且
,
,且
,
,
).

35．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1)
;

(2)
;

(3)
.

36.设函数
,记
.若
的定义域为
,则
，且
;若
的值域为
,则
，且
.对于
的情形,需要单独检验.

37. 对数换底不等式及其推广

若
,
,
,
,则函数

(1)当
时,在
和
上
为增函数.

， (2)当
时,在
和
上
为减函数.

推论:设
，
，
，且
，则

（1）
.

（2）
.

38. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
，则对于时间
的总产值
，有
.

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

( 数列
的前n项的和为
).

40.等差数列的通项公式

；

其前n项和公式为

.

41.等比数列的通项公式

；

其前n项的和公式为

或
.

42.等比差数列
:
的通项公式为

；

其前n项和公式为

.

43.分期付款(按揭贷款)

每次还款
元(贷款
元,
次还清,每期