高中数学难点解析

难点15 三角函数的图象和性质

三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.

●难点磁场

(★★★★)已知α、β为锐角，且x(α+β－
)＞0,试证不等式f(x)=
x＜2对一切非零实数都成立.

●案例探究

［例1］设z1=m+(2－m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范围.

命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目.

知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决.

错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.

技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.

解法一：∵z1=2z2，

∴m+(2－m2)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴

∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2(sinθ－
)2－
.

当sinθ=
时λ取最小值－
，当sinθ=－1时，λ取最大值2.

解法二：∵z1=2z2 ∴

∴
,

∴
=1.

∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,设t=m2,则0≤t≤4,

令f(t)=t2－(3－4λ)t+4λ2－8λ,则
或f(0)·f(4)≤0

∴

∴－
≤λ≤0或0≤λ≤2.

∴λ的取值范围是［－
，2］.

［例2］如右图，一滑雪运动员自h=50m高处A点滑至O点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O点保持速率v0不为，并以倾角θ起跳，落至B点，令OB=L，试问，α=30°时，L的最大值为多少？当L取最大值时，θ为多大？

命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题.

错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活.

技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.

解：由已知条件列出从O点飞出后的运动方程：

由①②整理得：v0cos