高中数学难点解析

难点23 求圆锥曲线方程

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.

●难点磁场

1.(★★★★★)双曲线
=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________.

2.(★★★★)如图，设圆P满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.

●案例探究

［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.

(1)建立坐标系并写出该双曲线方程.

(2)求冷却塔的容积(精确到10 m2,塔壁厚度不计，π取3.14).

命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积.

错解分析：建立恰当的坐标系是解决本题的关键，积分求容积是本题的重点.

技巧与方法：本题第一问是待定系数法求曲线方程，第二问是积分法求体积.

解：如图，建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴.

设双曲线方程为
=1(a＞0,b＞0),则a=
AA′=7

又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上，所以有

由题意，知y2－y1=20,由以上三式得：y1=－12,y2=8,b=7

故双曲线方程为
=1.

(2)由双曲线方程，得x2=
y2+49

设冷却塔的容积为V(m3),则V=π
,经计算，得V=4.25×103(m3)

答：冷却塔的容积为4.25×103m3.

［例2］过点(1，0)的直线l与