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授课内容：空间的角

授课教师： 孟向波

课件制作：孟向波

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高三数学复习课

复 习 内 容：空 间 中 的 角

复习要求：理解空间三种角的概念 并掌握其求法

空间的角的概念及其计算，是立体几何的基本内容，也是其重点和难点。

求空间角的一般步骤是：

空间中的角有：

异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角。

1、异面直线所成的角

根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有：

（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。

(1)找出或作出有关的图形；(2)证明它符合定义； (3)计算。

[即：要求先证，要证先作。]

具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。

B

例1：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。

如图，连B1D1与A1C1 交于O1，

O1

M

由余弦定理得

?A1C1与BD1所成的角为

取BB1的中点M，连O1M，则O1M??D1B，

于是?A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角），连A1M，在?A1O1M中

（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。

解法一（平移法）：

在?A1C1E中，

由余弦定理得

?A1C1与BD1所成的角为

说明：异面直线所成角的范围是（0o，90o]，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。 另外，当异面直线垂直时，应用线面垂直的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成的角为90o，也是不可忽视的办法。

如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 BC1的方体B1F，

连结A1E，C1E，则?A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，

B

D

A

C

解法二（补形法）：

2、直线和平面所成的角

直线与平面平行或在平面内，直线和平面所成的角的是0o；

斜线和平面所成的角是：斜线及斜线在平面上的射影所成的角。

O

直线与平面垂直，直线和平面所成的角是90o；

通常是从斜线上找特殊点，作平面的垂线段，构作含所求线面角的三角形求之。

求斜线与平面所成的角，关键是找准斜线段在平面内的射影；

x

令C’O=x，则

为什么？

x

D

从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角。

3、二面角

二面角的大小用它的平面角来度量；

（1）定义法： 根据定义作出二面角的平面角；

求二面角常用方法有：

E

分析：根据题意，在棱SC 任取一点D，过D作DE?SC于E，作DF ?SB于F，连EF。由定义可知?EDF即为二面角A-SC-B的平面角。设SD=a，借助已知条件，由Rt?SDE、 Rt?SDF及Rt?ESF求出?FDE所在?FDE三边长，再用余弦定理即可求得: cos?FDE=-ctg?·ctg?, 即?FDE=?-arccos(ctg?·ctg?)。

?

?

F

用这个关系式求可锐二面角的平面角。

已知直二面角 ?-l-?，A??,B??线段AB=2a，AB与?成45o的角，与?成30o角，过A、B两点分别作棱l的垂线AC、BD，求面ABD与面ABC所成角的大小。

H

F

解法一：如图,由已知可得平面ABC?平面?,作DH?BC于H，则DH?平面ABC，作DF?AB于F，连HF，则据三垂线定理的逆定理知?DFH为所求二面角的平面角。

例5：

H

由于D在平面ABC内的射影H在BC边上 ?ABH为?ABD在平面ABC上的射影设所求的二面角为?, 则有

cos? = S?ABH /S?ABD，

例5：已知直二面角 ?-l-?,A??,B??,线段AB=2a，AB与?成45o的角，与?成30o角，过A、B两点分别作棱l的垂线AC、BD，求面ABD与面ABC所成角的大小。

（为什么？）

（因?BCD为Rt ?）

解法二（射影法）：

l

E

F

解法三（公式法）：

小结：

1、正确掌握空间各种角的定义及取值范围：

（1）异面直线所成角?的范围：0o???90?

（2）直线与平面所成的角?的范围：0o???90?

（3）二面角的平面角?的范围通常认为：0o???180?

2、求空间各角的大小，通常是转化为平面角来计算；其格式为：应先定其位，后算其值。

3、用间接法求空间角，在答题时，要规范解题过程。