泰兴市2012-2013年春学期高一数学期末测试试题 2013.06.27

考试时间：120分钟

命题人：毛华平 王东先 黄永健 黄克恭

审核人：张建东 董泽华 丁小虎

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．

1．若点P(m，n)(m，n≠0)为角600°终边上一点，则等于________．

2．根据表格中的数据，可以判定方程
的一个根所在的区间为 ．

x

－1

0

1

2

3





0.37

1

2.72

7.39

20.09





1

2

3

4

5



3．如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，

用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ．

4．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，

则PQ的最小值为________．

5．执行下图所示的程序框图，若输入
的值为2，

则输出的
值是 ．

6．将一骰子连续向上抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 .

（结果用最简分数表示）

7．已知函数
的图像过点
，则此函数的最小值是 _ ．

8．定义：关于x的两个不等式f(x)＜0和g(x)＜0的解集分别为(a，b)和
，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式x2－4
xcos2( +2＜0与不等式2x2－4xsin2( +1＜0为对偶不等式，且( ∈(
，()，则(＝ ．

9．对于数列{
}，定义数列{
}为数列{
}的“差数列”，若
，{
}的“差数列”的通项为
，则数列{
}的前
项和
= ．

10．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．

11．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是______ ．

12．设
函数在
内有定义，对于给定的正数
，定义函数：
，取函数
（
＞1），当
时，函数
值域是______ ．

13．已知△ABC所在平面上的动点M满足
，则M点的轨迹过△ABC的

心．

14．若不等式a＋
≥
在x∈(
，2)上恒成立，则实数a的取值范围为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．(本小题满分14分)

某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60)，[60,70)，…，[90,100)后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求出物理成绩低于50分的学生人数；

（2）估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）；

（3）从物理成绩不及格的学生中任选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．

16．(本小题满分14分)

已知向量
,
，
，设函数

（1）求函数
的最大值及相应的自变量x的取值集合；

（2）当
且
时，求
的值．

17．(本小题满分14分)

已知三条直线l1：2x-y+a = 0 (a＞0)，直线l2：-4x+2y+1 = 0和直线l3：x+y-1= 0 ，且l1与

l2的距离是
．

（1）求a的值；

（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到

l1的距离是P点到l2的距离的
；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是
∶
．若能，求P点坐标；若不能，说明理由．

18．(本小题满分16分)

已知函数

且
．

（1）求函数
的定义域、值域；

（2）是否存在实数
，使得函数
满足：对于任意
，都有
？若存

在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

19．(本小题满分16分)

如图，某市市区有过市中心O南北走向的解放路，为了解决南徐新城的交通问题，市政府

决定修建两条公路：延伸从市中心O出发北偏西60°方向的健康路至B点；在市中心正南方向解放路上选取A点，在A、B间修建南徐新路．

（1）如果在A点处看市中心O和B点视角的正弦值为，求在B点处看市中心O和A点视

角的余弦值；

（2） 如果△AOB区域作为保护区，已知保护区的面积为 km2，A点距市中心的距离

为3 km，求南徐新路的长度；

（3） 如果设计要求市中心O到南徐新路AB段的距离为4 km，且南徐新路AB最短，请你

确定A、B两点的位置．

20．(本小题满分16分)

定义数列
：
，当
时，
其中，
为

常数．

（1）当
时，
．

①求：
； ②求证：数列
中任意三项均不能够成等差数列；

（2）求证：对一切
及
，不等式
恒成立．

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参考答案

一、填空题：

1．答案： 解析：
，∴ = ．

2．答案：
解析：令
，∴
．

3．答案：
解析：由图即求

．

4．答案：3 解析：直线6x＋8y＋6＝0可变形为3x＋4y＋3＝0，则PQ的最小值即两平行线3x＋4y－12＝0与3x＋4y＋3＝0间的距离d，又d＝＝3，所以PQ的最小值为3．

5．答案：4 解析：
，此时P= 4．

6．答案：
解析 古典概型，穷举法，分公差为0，±1，±2五种情形，成等差数列时共18种．

7．答案：
解析：
，∴
．

8．答案：
解析：由韦达定理
，∴
，又( ∈(
，()，∴
∴
．

9．答案：
解析：
，由叠加法可得
，∴
=
．

10．答案： 解析：两图象的对称轴完全相同，则两函数的周期相同，∴
，∵x∈，∴f(x)＝3sin
 ．

11．答案：  解析：由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如图所示，这里直线y＝kx＋只需要经过线段AB的中点D即可，此时D点的坐标为(，)，代入即可解得k的值为．

12．答案：
解析：
＞1时，
，当
时，若
，则
；若
，则
．

13．答案：外 解析：

，

∴
，∴
，∴
，

∴
，∴M在BC的垂直平分线上，∴M点的轨迹过△ABC的外心．

14．答案：a≥1 解析：不等式即为a≥
＋
，在x∈(
，2)上恒成立．而函数

＝
＋
＝
，则
在(
，2)上的最大值为1，所以a≥1．

二、解答题：

15．解：（1）因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为：

f1＝1－(0.015×2+0.03+0.025+0.005)×10＝0.1，∴低于50分的人数为60×0.1＝6（人）．

（2）依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），频率和为 (0.015+0.03+0.025+0.005)×10＝0.75．即抽样学生成绩的合格率是75%．

答：估计这次考试物理学科及格率约为75﹪．

（3）“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6，9．所以从成绩不及格的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为P＝1－
＝
．

答：至少有一个不低于50分的概率为
．

16．解：（1）

，
，

∴
=

∴函数
取得最大值为
，相应的自变量x的取值集合为{x|
（
Z）}．

（2）由
得
，即

因为
,所以
，从而
，于是

．

17．解：（1）l2即2x-y-
= 0，

∴l1与l2的距离d =
=


=
，

∴|
| =
，由a＞0解得a = 3．

（2）设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1、l2平行的直线
：2x-y+c = 0上．

且
=
×
，解得c =
或c =
，∴2x0-y0+
= 0或2x0-y0+
= 0；

若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有

=
·
，即|
| = |
|，

∴x0-2y0+4= 0或3x0+2 = 0；

由P在第一象限，显然3x0+2 = 0不可能，

联立方程2x0-y0+
= 0和x0-2y0+4= 0，解得
(舍去)，

联立方程2x0-y0+
= 0和x0-2y0+4= 0，解得
，

∴点P(
，
)即为能同时满足三个条件的点．

18．解：（1）由4－ax≥0,得ax≤4．当a＞1时，x≤loga4；当0＜a＜1时，x≥loga4．

即当a＞1时，f(x)的定义域为（－∞，loga4]；当0＜a＜1时，f(x)的定义域为[loga4，＋∞）．

令t＝，则0≤t＜2，且ax＝4－t2，∴ f(x)＝g(t)＝4－t2－2t－1＝－(t＋1)2＋4，

当t≥0时，g(x)是t的单调减函数，∴g(2)＜g(t)≤g(0)，即－5＜f(x)≤3，∴ 函数f(x)的值域是
．

（2）若存在实数a，使得对于任意
，都有f(x) ≤0，则区间
是定义域的子集．

由（1）知，a＞1不满足条件；所以0＜a＜1，且loga4≤-1， 即
．

令t＝，由（1）知，f(x)＝4－t2－2t－1＝－(t＋1)2＋4，

由
，解得
（舍）或
，即有
解得
，

由题意知对任意
，有
恒成立，因为0＜a＜1，所以对任意
，都有
．所以有
，解得
，即
．∴存在
，对任意
，都有f(x) ≤0．

19．解：（1） 由题可得∠AOB＝π，∠BAO为锐角，sin∠BAO＝?cos∠BAO＝，

cos∠OBA＝cos(－∠BAO)＝·＋·＝.

（2） OA＝3，S＝OB·OAsin∠AOB＝OB·3·sinπ＝， 解得OB＝5.

由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcosπ＝9＋25＋15＝49， ∴ AB＝7(km)．

（3） ∵ AB·4＝OA·OB·sin∠AOB，∴ OA·OB＝AB，

∴AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcosπ＝OA2＋OB2＋OA·OB ≥2OA·OB＋OA·OB＝3OA·OB＝3·AB，

∴ AB2≥8AB，∴ AB≥8(等号成立OA＝OB＝8)．

20．解：（1）当
时，计算得数列的前8项为：1，1，2，2，4，4，8，8.

从而猜出数列
、
均为等比数列．

∵
，

∴数列
、
均为等比数列，∴
．

①∴


，
，∴

②证明（反证法）：假设存在三项
是等差数列，即
成立．因
均为偶数，设
，
，
，（
），

∴
即

∴