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| 简介：
高一数学周练三十八 一、选择题 1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( ) A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面 2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( ) A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( ) A． a?α，b?α B．a?α，b∥α C．a⊥α，b⊥α D．a?α，b⊥α 6．下面四个命题： ①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面； ②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交； ③若a∥b，则a，b与c所成的角相等； ④若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 其中真命题的个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论： ①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD. 其中一定正确的有( ) A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( ) A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a?α，b?β，a∥b，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b 9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，n∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ) A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β 10．(2012·大纲版数学(文科))已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为( ) A．－ B. . C. D．－ 11．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为( ) A. B. C．0 D．－ 12．如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是( ) A．90° B．60° C．45° D．30° 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 13．下列图形可用符号表示为________． 14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________． 15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________. 16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论： ①AC⊥BD； ②△ACD是等边三角形； ③AB与平面BCD成60°的角； ④AB与CD所成的角是60°. 其中正确结论的序号是________． 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点． 求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF； (2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1. [分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件． 18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点． (1)证明：CD⊥平面PAE； (2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积． 19．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点． (1)证明：AM⊥PM； (2)求二面角P－AM－D的大小． 20． (本小题满分12分)(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B. (1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1； (2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1DDC1的值． 21．(12分)如图，△ABC中，AC＝BC＝AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点． (1)求证：GF∥底面ABC； (2)求证：AC⊥平面EBC； (3)求几何体ADEBC的体积V. [分析] (1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED. 22．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点． (1)求证：AC⊥BC1； (2)求证：AC1∥平面CDB1； (3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值． 答案 1[答案] D 2[答案] C 3[答案] C 4[答案] D 5[答案] B 6[答案] D 7[答案] D 8[答案] D 9[答案] C 10[答案] 11[答案] C 12[答案] B 13[答案] α∩β＝AB 14[答案] 45° 15[答案] 9 16[答案] ①②④ 17[证明] (1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中， ∵F、F1分别是AC、A1C1的中点， ∴B1F1∥BF，AF1∥C1F. 又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F， ∴平面AB1F1∥平面C1BF. (2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1. 又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1， ∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?平面AB1F1， ∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1. 18 (1)如图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5. 又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE. ∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD. 而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. (2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF. 由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE. 由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角． AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由题意，知∠PBA＝∠BPF， 因为sin∠PBA＝，sin∠BPF＝，所以PA＝BF. 由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2. 在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以 BG＝＝2，BF＝＝＝.于是PA＝BF＝. 又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为 V＝×S×PA＝×16×＝. 19 (1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA， ∵△PCD为正三角形， ∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝. ∵平面PCD⊥平面ABCD， ∴PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM. ∵四边形ABCD是矩形， ∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝，AM＝，AE＝3， ∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM. 又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM. (2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM， ∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角． ∴tan∠PME＝＝＝1，∴∠PME＝45°. ∴二面角P－AM－D的大小为45°. 20 (1)因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1， 又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B， 所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C?平面AB1C 所以平面AB1C⊥平面A1BC1 . (2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面 B1CD的交线． 因为A1B∥平面B1CD，A1B?平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝DE，所以A1B∥DE. 又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点． 即A1DDC1＝1. 21[解] (1)证明：连接AE，如下图所示． ∵ADEB为正方形， ∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点， 又G是EC的中点， ∴GF∥AC，又AC?平面ABC，GF?平面ABC， ∴GF∥平面ABC. (2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB， 又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB?平面ABED， ∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC. 又∵AC＝BC＝AB， ∴CA2＋CB2＝AB2， ∴AC⊥BC. 又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE. (3)取AB的中点H，连GH，∵BC＝AC＝AB＝， ∴CH⊥AB，且CH＝，又平面ABED⊥平面ABC ∴GH⊥平面ABCD，∴V＝×1×＝. 22 (1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC. 又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1. ∵BC1?平面BCC1B，∴AC⊥BC1. (2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形． ∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1. ∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1， ∴AC1∥平面CDB1. (3)解：∵DE∥AC1， ∴∠CED为AC1与B1C所成的角． 在△CED中，ED＝AC1＝， CD＝AB＝，CE＝CB1＝2， ∴cos∠CED＝＝. ∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为. | ||||||||||||||||||||||||||||||
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