2014-2015年度第一学期期末考试

高一数学参考答案及评分标准

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：

CBBCB CAADC BD

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

(13)
(14)3∶2 (15)－1 (16) (1,2)或(2，－1)

三、解答题：本大题共6道题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分10分)

计算下列各式的值

（1）

（2）

解：（1）原式=
……………5分

(2)原式=
……………10分

（18）(本小题满分12分)

设全集为R，
，
，

(1)求
及
.

（2）
，且
，求的取值范围.

解：（1）
……………3分

……………6分

（2）∵
，∴
即
………………12分

（19）(本小题满分12分)

某出租公司拥有汽车80辆，当每辆车的月租金为2500元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。出租公司每月每辆车平均需要维护费100元。

（1）当每辆车的月租金定为2900元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解：（1）租金增加了400元，所以未出租的车有8辆，一共出租了72辆。……………4分

（2）设每辆车的月租金为x元，（x≥2500），租赁公司的月收益为y元。

…………………………10分

答：当每辆车的月租金定为3300元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是204800……………………12分

（20）(本小题满分12分)

如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．

（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；

（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；

（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．

【解析】

（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．

∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．

∴直线AB1∥平面BC1D； …………………………4分

（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，

∵底面ABC正三角形，D是AC的中点

∴BD⊥AC

∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，

,
; …………………………8分

（3）由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3
，

∴S△BCD=
=
，

∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=
?
?6=9
. …………………………12分

（21）(本小题满分12分)

已知圆C的方程为：x2＋y2－2mx－2y＋4m－4＝0(m∈R)．

(1)试求m的值，使圆C的面积最小；

(2)求与满足(1)中条件的圆C相切，且过点(1，－2)的直线方程．

【解】　圆C的方程：(x－m)2＋(y－1)2＝(m－2)2＋1.

(1)当m＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小． …………………………4分

(2)当m＝2时，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，

设所求的直线方程为y＋2＝k(x－1)，

即kx－y－k－2＝0，

由直线与圆相切，得＝1，k＝，

所以切线方程为y＋2＝(x－1)，即4x－3y－10＝0，

又因为过点(1，－2)且与x轴垂直的直线x＝1与圆也相切，

所以所求的切线方程为x＝1或4x－3y－10＝0. …………………………12分

(22) (本小题满分12分)

已知函数
的值满足
，对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0

（1）求
的值，判断
的奇偶性并证明；

（2）判断
在（0，＋∞）上的单调性，并给出证明；

（3）若
且
，求a的取值范围。

解：（1）令x=y= -1，f(1)=1…… 2分

令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴

f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。 …… 4分

（2）f（x）在（0，＋∞）上是增函数。

证明：设
，∴

，
，

∴f（x1）＜f（x2），

故f（x）在（0，＋∞）上是增函数。 ……8分

（3）∵f（27）＝9，

又
，

∴
， ∴
，

∵
， ∴
，

∵
都大于0， ∴
，

又
， 故
。 …… 12分