2014-2015学年度山东省峄城东方国际中学高二第一学期期中考试

数学试题

第Ⅰ卷　客观卷（共36分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3 分，共36 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）

1．已知抛物线
的准线与圆
相切，则的值为

A．
B．
C． D．

2．将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（　　）

A．
B．
C．
D．

3．直线
经过一定点，则该定点的坐标为（　　）

A．
B．
C．
D．

4．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，设A（，，），B（，，0），C（，，），则

A．OA⊥AB B．AB⊥AC

C．AC⊥BC D．OB⊥OC

5．若P（2，－1）为圆（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为

A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0

C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0

6．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是

A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1和DM所成角为

A．30°　　　 B．45° C．60°　　　 　 D．90°

8．已知直线l过点（－2,0），当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是

A．（－2，2） B．（－，）

C．（－，） D．（－，）

9．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是

A．30° B．45° C．60° D．90°

10．过点M（－2,4）作圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝25的切线l，且直线l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是

A． B． C． D．

11．点P（4，－2）与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是

A．（x－2）2＋（y＋1）2＝1 B．（x－2）2＋（y－1）2＝4

C．（x－4）2＋（y－2）2＝1 D．（x－2）2＋（y－1）2＝1

12．设P（x，y）是圆x2＋（y＋4）2＝4上任意一点，则的最小值为

A．＋2 B．－2 C．5 D．6

第Ⅱ卷　主观卷（共36分）

二、填空题（本大题共4小题,每小题4分，共16分）

13．顺次连结A（1,0），B（1,4），C（3,4），D（5,0）所得到的四边形绕y轴旋转一周，所得旋转体的体积是________．

14．经过点P（1,2）的直线，且使A（2,3），B（0，－5）到它的距离相等的直线方程为________．

15．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线l1：x－y＋4＝0与直线l2：x＋3y＝0都对称，则D＝________，E＝________．

16．已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．

三、解答题（本题共6个小题，每小题8分）

17．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．

（1）证明PA⊥BD；

（2）设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高．

18．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2,0），AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T（－1,1）在AD边所在直线上．

（1）求AD边所在直线的方程；

（2）求矩形ABCD外接圆的方程．

19．已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，求圆的方程．

20．如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD．

（1）求证：BE＝DE；

（2）若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．

21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x－4）2＋（y－5）2＝4和圆C2：（x＋3）2＋（y－1）2＝4．

（1）若直线l1过点A（2,0），且与圆C1相切，求直线l1的方程；

（2）直线l2的方程是x＝，证明：直线l1上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的直线l3和l4，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l3被圆C1截得的弦长与直线l4被圆C2截得的弦长相等．

22．如图已知三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点．

（1）证明：BC1∥面A1CD；

（2）设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C－A1DE的体积．

2014-2015学年度山东省峄城东方国际中学高二第一学期期中考试

数学试题参考答案

一、选择题

D、 D、 A、　C、　A、 D、　D、　C、　C、　D、 A、　B

二、填空题

13． 14．4x－y－2＝0或x＝1 15．6　－2 16．x＋y－3＝0

三、解答题

17．（1）证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD．

从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD．又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD．

所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．

（2）如图，作DE⊥PB，垂足为E．已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC．由（1）知BD⊥AD，

又BC∥AD，所以BC⊥BD．故BC⊥平面PBD，所以BC⊥DE．则DE⊥平面PBC．

由题设知PD＝1，则BD＝，PB＝2．根据DE·PB＝PD·BD，得DE＝，

即棱锥D－PBC的高为．

18．解：（1）因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3．又因为点T（－1,1）在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3（x＋1），即3x＋y＋2＝0．

（2）由，解得点A的坐标为 （0，－2）．因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2,0），所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．又r＝|AM|＝＝2．所以矩形ABCD外接圆的方程为（x－2）2＋y2＝8．

19．解：方法一：设圆的方程是（x－a）2＋（y－b）2＝10．因为圆心在直线y＝2x上，

所以b＝2a．　①

解方程组得2x2－2（a＋b）x＋a2＋b2－10＝0，

所以x1＋x2＝a＋b，x1·x2＝．由弦长公式得·＝4，

化简得（a－b）2＝4．　② 解①②组成的方程组，得a＝2，b＝4，

或a＝－2，b＝－4．故所求圆的方程是（x－2）2＋（y－4）2＝10，或（x＋2）2＋（y＋4）2＝10．

方法二：设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝10，则圆心为（a，b），半径r＝，圆心（a，b）到直线x－y＝0的距离d＝．

由弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d2＋（）2＝r2，即＋8＝10，

所以（a－b）2＝4．又因为b＝2a，所以a＝2，b＝4，或a＝－2，b＝－4．

故所求圆的方程是（x－2）2＋（y－4）2＝10，或（x＋2）2＋（y＋4）2＝10．

20．解：

（1）设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC＝CD知，CO⊥BD，又已知CE⊥BD，所以BD⊥平面OCE．所以BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，所以BE＝DE．

（2）取AB中点N，连接MN，DN，∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DN⊥AB．由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°＋30°＝90°，即BC⊥AB，

所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC．

21．解：（1）若直线斜率不存在，x＝2符合题意；

当直线l1的斜率存在时，设直线l1的方程为y＝k（x－2），即kx－y－2k＝0，

由条件得＝2，解得k＝，

所以直线l1的方程为x＝2或y＝（x－2），即x＝2或21x－20y－42＝0．

（2）由题意知，直线l3，l4的斜率存在，设直线l3的斜率为k，则直线l4的斜率为－，

设点P坐标为（，n），互相垂直的直线l3，l4的方程分别为：y－n＝k（x－），y－n＝－（x－），即kx－y＋n－k＝0，－x－y＋n＋＝0，

根据直线l3被圆C1截得的弦长与直线l4被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理得：圆心C1到直线l3与圆心C2到直线l4的距离相等．

有＝，

化简得
或

关于
的方程有无穷多解，

有
，即
，即直线
上满足条件的点P是存在的，坐标是（
）

22．解：（1）连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．

（2）因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD，由已知AC＝CB，D为AB中点，所以，CD⊥AB，又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1，由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得，∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D，所以VC－A1DE＝××××＝1．