淮南市2014-2015学年
度高二第一学期期末考试数学试卷（理科）

考试时间：100分钟；满分100分

题号

一

二

三

总分



得分











第I卷（选择题）

评卷人

得分











一、选择题（10*4=40分）



1．
为平面上两个不同定点，
,动点
满足：
，则动点
的轨迹是（ ）

A.椭圆 B.线段

C.不存在 D.椭圆或线段或不存在

2． “
是真命题”是“
为假命题”的( )

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3．执行右面的程序框图，若输入N＝2015，则输出S等于( )

A．1 B．
C．
D．

4．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为
＝－3＋bx，若
则b的值为(
)

A．2 B．1 C．－2
D．－1

5．对于平面
，
，
和直线
，
，
，
，下列命题中真命题是（ ）

A．若
，
，
，
，则

B．若
，
，
，则

C．若
，
，则

D．若
，
，
，
，则

6．已知双曲线C:
－
＝1(a＞0，b＞0)的离心率为
，则C的渐近线方程为 ( )

A、y=±
x （B）y=±
x （C）y=±
x （D）y=±x

7．已知
，
分别为圆锥曲线
和
的离心率，则
的值为（ ）

A．正数 B．负数 C．零 D．不确定

8．一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A.
B.
C.
D.

9.若曲线
上的动点P到
的距离与到y轴的距离之和为d，则d的最小值是（ ）

A .
B .
C. 3 D. 4

10．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为(　　)

第II卷（非选择题）

评卷人

得分











二、填空题（5*3=15分）





11．如图正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若△A′B′C′的面积为
，那么△ABC的面积为 ．

12．已知点P是抛物线
上的动点，F是抛物线的焦点，
为定点，则

的最小值是 ，取得最小值时点P的坐标是 .

13．已知椭圆
的左焦点为

.

14.双曲线
的焦距为10，则
= ．

15．如图，正方体
的棱长为1，
为
的中点，
为线段
上的动点，过点
的平面截该正方体所得的截面记为
，则下列命题正确
的是 （写出所有正确命题的编号）。

①当
时，
为四边形

②当
时，
为等腰梯形

③当
时，
与
的交点
满足

④当
时，
为六边形

⑤当
时，
的面积为

评卷人

得分











三．解答题（5小题共45分）





16．（本小题8分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝2，M, N分别为PA, BC的中点．

（1）证明：MN∥平面PCD；

（2）求MN与平面PAC所成角的正切值．

17．（本小题9分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.

（1）求证：AA1⊥平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（3）求点C到平面
的距离.

18．（本小题9分）如图，斜率为1的直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，与抛物线交于两

点A,B，M为抛物线弧AB上的动点．

（1）若｜AB｜＝8，求抛物线的方程；

（2）求
的最大值

19. （本小题9分）已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为（2,0），左顶点为
。

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线
与双曲线C恒有两个不同的公共点A,B,且
(其中O为
坐标原点)，求k的取值范围。

20．（本小题满分10分）已知椭圆
，离心率为
．

（1）求椭圆的方程；

（2）当
时，过椭圆的右焦点
任作一条斜率为
（
）的直线交椭圆于A，B两点，问在
右侧是否存在一点D
，连AD、BD分别交直线
于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好过
，若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．

淮南市2014-2015学年度高二第一学期期末考试

数学试卷（理科）

参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

见备注

A

B

C

B

B

C

A



备注：第三题没有答案，请各校自行赋分！谢谢

11.
;12.
; 13.
； 14. (1) (2) (3) (5).

15. 解：若命题
为真，则
解得
； 2分

若命题
为真，则
，解得
或
.

由题意可知命题
与
一真一假, 3分

当
真
假时，则
，解得
； 5分

当
假
真时，则
解得
. 7分

综上，实数
的取值范围
或
. 8分

考点：1椭圆和双曲线的标准方程；2复合命题真假判断。

16.

证明：（1）取PD的中点E，连接ME, CE．

∵M, N分别为PA, BC的中点，

∴
，
，∴
，

∴MNCE是平行四边形，∴MN∥CE， 2分

∵CE(平面PCD，MN(平面PCD，

∴MN∥平面PCD．
5分

解：（2）作NF⊥AC于F，连接MF．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥NF，又∵PA∩AC＝A，

∴NF⊥平面PAC，∴∠FMN是MN与平面PAC所成的角． 6分

在Rt△MFN中，
，
，
，

∴
，

∴
． 9分

解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则A(0
，0，0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),

P(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),PD中点E(0，1，0),则
,

∥
,即
∥
,
,
,
平
面

5分

(2)设平面PAC的一个法向量为
，则

令
，得
，由（1）知
，设
所成的角为
，

则
,
。
9分

考点：
1、线面平行的判定定理和性质定理；2、线面角的求法．

17.证明：（1）因为
为正方形，所以
.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C，，且平面ABC
平面AA1C1C
，

所以
⊥平面ABC. 3分

解：（2）由（1）知，
⊥AC,
⊥AB.

由题意知
，所以
.

如图，以A为原点建立空间直角坐标系
,则
.

设平面
的法向量为
，则
即

令
，则
，所以
.

同理可得，平面
的法向量为
.

所以
.

由题知二面角A1-BC1-
B1为锐角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为
. 7分

（3）由（2）知平面
的法向量为
，

所以点C到平面
距离

9分

本题考查了平面与平面垂直的性质定理，直线和平面垂直的判定定理，考查了法向量、
空间向量在立体几何中的应用和二面角的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力.

18. (1)由条件知lAB：
，则
，消去y得
，则x1＋x2＝3p，由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.

又因为|AB|＝8，即p＝2，则抛物线的方程为
. 4分

(2)由(1)知|AB|＝4p，且lAB：
，

，消x得：
，即
，

设
，则
，

M到AB的距离
，因为点M在直线AB的上方，所以
，

所以
，

当
时，
.

则
. 9分

19.解：（1）当焦点在
上时，

由
，故所求椭圆方程为
．

当焦点在
上时，

由
，故所求椭圆方程为
．

综上所述，所求椭圆方程为
或
． 4分

（2）如图所示：

设直线
的方程为
，
，则由
，根据韦达定理（根与系数的关系）得：

，
，

由
…… ①

三点共线，即
,且
，
,

,同理可得
,

……②

根所题意,
（直径所对圆周角），即
，

……③

由①、②、③得：
，

，
由
，

点
在
的右侧，

，
． 9分

存在满足条件的
点，且
．

考点：①椭圆的方程和性质；②直线方程；③向量共线和垂直的动用；④根与系数的关系；⑤数形结合思想；⑥方程思想；⑦推理和运算能力．