潮阳区2014～2015学年度第一学期高二年级期末质量监测

（理科）数学试题参考答案及评分标准

选择题（每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

C

C

A

B

D

A

B





8. 解析: 根据题意可知只须作出函数

的图象关于原点对称的图象，确定它与函数
交点个数即可,由图象可知，只有一个交点．选B

二、填空题（每小题5分，共30分）

9. [-3，1] 10. -3 11. -1

12.
13.
14. 1

14. 解析: 画图，两圆内切。

当
最小时，最大。
最小为点
到直线
的距离
。

三、解答题。

15．（本小题满分12分）

解：（1）在△
中，
．………………………………………………1分

所以
………………………………………………………2分

．………………………………………………………3分

所以
……………………………………………………5分

．………………………………………………………………7分

（2）因为
，
，
，

由余弦定理
，………………………………………………9分

得
．………………………………………………………………11分

解得
．……………………………………………………………………………12分

16. （本小题满分12分）

解: 因为命题“
”为假，所以命题是真命题. ……………………………………2分

又因为命题“
”为假，所以命题
是假命题. ……………………………………4分

要使对任意
不等式
恒成立，只需
， ……………………6分

所以命题是真命题的条件是：
. …………………………7分

关于的方程
有实数根，则只需
，即
.

命题
是真命题的条件是：
，所以命题
是假命题的条件是
. …………………10分

综上所述，使命题“
”为假，命题“
”为假的条件是的取值范围为
. ……12分

17.（本小题满分14分）

解:(1)解法一: 设圆心
,因为
,

所以
, 解得
……………………………4分

所以圆心
,半径
………………………………6分

所以圆
的方程为
……………………………………………7分

解法二: 设圆
的方程为
,……………………………2分

依题意得
,…………………………………………………………5分

解得
,所以圆
的方程为
………………………………7分

解法三: 依题意易得线段
的中垂线方程为
,……………………………………………2分

联立方程组
,解得
,所以圆心
,……………5分 下同解法一.

（2）因为直线
被圆
所截得的弦长为,

所以圆心
到直线
的距离
………………………11分

∴
，解得
………………………………………14分

18．（本小题满分14分）

（1）证明：∵PA(平面ABCD，且CD(平面ABCD，

∴CD(PA． ……………1分

又∵AB=BC，(ABC=90°，∴(BAC=45°，

又(BAD=90°，故(CAD=45° ……………2分

过C作CE//AB，交AD于E，则CE=AB=DE，(CED=(BAD=90°，∴(CDA=45° …………… 3分

又(CAD=45°，∴(ACD=90°，即CD(AC． …………………………4分

∵PA(平面PAC，AC(平面PAC，且PA∩AC=A，∴CD(平面PAC. ……………………6分

（2）方法一：

∵PA(平面ABCD，且CE(平面ABCD，∴CE(PA．

由（1）知CE⊥AD，又PA(平面PAD，AD(平面PAD，且PA∩AD=A，

∴CE(平面PAD. …………………………7分

过E作EF⊥PD于F，连结CF.

∵CE(平面PAD，且PD(平面PAD，∴CE(PD．又EF⊥PD，且CE∩EF=E，∴PD(平面CEF.

又CF(平面CEF，∴CF(PD． …………………………8分

∴(CFE是二面角A—PD—C的平面角. …………………………10分

设PA=AB=BC=a，则AD=2a，CE=DE=a，
.

由(PAD∽(EFD，得
，所以
. …………………………11分

所以
， …………………………12分

∴
，即二面角A—PD—C的余弦值为
． …………………14分

方法二：

建立如图所示的空间直角坐标系，

设PA=AB=BC=a，则AD=2a.

所以A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，a）

D（0，2a，0），C（a，a，0）. ………………7分

所以
，
. …………………………8分

设平面PCD的法向量为
，

则
，即
，得
，

令x=1，得y=1，z=2，所以
是平面PCD的一个法向量. …………………………10分

又平面PAD的一个法向量为
…………………………11分

设向量和
所成角为
，则
…………………………13分

∴即二面角A—PD—C的余弦值为
． …………………………14分

19.（本小题满分14分）

解: （1）
， 所以 公比
…2分

得
,
……………………4分

所以
………5分

……6分

（2）由（Ⅰ）知

于是
……………9分

假设存在正整数
，使得
成等比数列，则
，…11分

整理得
， 解得
或
, 由
，得
，

因此，存在正整数
，使得
成等比数列 ……………………14分

20．（本小题满分14分）

解:（1）方法一：依题意，设椭圆
的方程为
……1分，

所以
……2分，

，所以
……3分，

椭圆
的方程为
……4分

方法二：依题意，设椭圆
的方程为
，c=1

又

联立（1）（2）得
，所以椭圆
的方程为

（2）根据椭圆和抛物线的对称性，设
、
（
）……5分，

的面积
……6 分，

法1、
在椭圆上，
，所以

那么

当
时，
，即当
时,
。

将
代入
得
……8分，

即
在抛物线
上，所以
，

解得
。……9分，

法2、
在椭圆上，
，

ＡＡＡ所以
，

等号当且仅当
时成立

解
（
）得

即
在抛物线
上，所以
解得

（3）i）当直线
垂直于轴时，根据抛物线的对称性，有
则
；……10分，

ii）当直线
与轴不垂直时，依题意，可设直线
的方程为
，

，则A，B两点的坐标满足方程组
……11分，

化简得
，

依韦达定理得
……12分，

又
，

所以

，

将
代入得

综上，直线
与直线
的斜率之和为定值0. …………14分.