2014-2015学年高二第二学期期中考试数学试卷（文）

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

第Ⅰ卷

一、选择题：该题共12个小题，每个小题有且只有一个选项是正确的，每题5分，共60分。

1． 已知△ABC中，tan A＝－，则cos A等于 （ ）

A. B. C．－ D．－

2． 函数y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为 ( )

A．y＝－4sin B．y＝4sin

C．y＝－4sin D．y＝4sin

3． 若2α＋β＝π，则y＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是 (　 　)

A．7,5 B．7，－ C．5，－ D．7，－5

4、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） (　　)

A. B．3π C. D．6π

5.为
所在平面外一点，
,在平面
上的射影必在
的（ ）

A．
边的垂直平分线上 B．
边的高线上

C．
边的中线上 D．
的角平分线上

6．有一块多边形的菜地它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示


则这块菜地的面积为.（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 下列条件中,能判断两个平面平行的是（ ）

A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;

B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面

C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

8.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为(　　)

A．30° B．45° C．60° D．90°

9．已知函数
的最大值为4，最小值为0，最小正周期为
，直线
是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式为（ ）

A．
B．

C．
D．

10．已知函数
，
的图像与直线
的两个相邻交点的距离等于，则
的单调递增区间是 （ ）

A．
B．

C．
D．

11．实数x、y满足3x2＋2y2=6x，则x2＋y2的最大值为（ ）

A、
　　B、4 C、
　D、5

12.极坐标方程
表示的曲线是 ( )

A、圆　　　 B、椭圆　　　　 C、双曲线的一支　　　　 D、抛物线

第Ⅱ卷

二、填空题：该题共4个小题，每题5分，共20分，请将答案规范书写在答题卡的相应位置。

13．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝(θ为锐角)，且a∥b，则tan θ＝________.

14．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在上的投影为________．

15. 在极坐标系中，点P
的距离等于____________。

16、在极坐标系中，圆
的方程为
，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆
的参数方程为
（
为参数，
），若圆
与
外切，则实数的值为 .

三、解答题：该题共6个小题，共70分，请将正确答案规范书写在答题卡的相应位置。

17.（本小题10分）

已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.(1)求sin α的值；(2)求β的值．

18．(本小题满分12分)

角A、B、C是ΔABC的内角，
，向量
，
，且
，

（1）求sinA的值；（2）求
的值.

19、(本小题满分12分)

已知

（1）求函数
的最小正周期及单调递增区间.

（2）当
时，方程
有实数解，求实数的取值范围.

20. (本小题满分12分)

已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.

(1)求|b|的值；

(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．

21.（本小题12分）

极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为
，斜率为
的直线
交y轴于点E（0,1）．

（I）求C的直角坐标方程，
的参数方程；

（II）直线
与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB |。

22.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
平分
，是
的中点，
，

（1） 求证:
∥平面
；

（2）求证:
平面
；

（3）求直线
与平面
所成的角的余弦值.

参考答案

DADBA/BDCDC/BD

二、13、1 14、 15、
16、

三、17解　(1)tan α＝＝，所以＝.又因为sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝.

(2)因为0<α<<β<π，所以0<β－α<π.因为cos(β－α)＝，所以sin(β－α)＝.

所以sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝×＋×＝.

因为β∈，所以β＝.

18．解：（1）∵向量
，∴
……①

又
………②； 由①②得：
得
或
， 又
∴
， 故
；

（2）∵A+B=
，∴



.

19解：(1)

………2分

最小正周期为………4分

令
.函数
的单调递增区间是

，由
，

得

函数
的单调递增区间是
………6分

（2）当
时，
，

………12分

20.解：(1)(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝，

∵|a|＝1，∴1－|b|2＝ ，∴|b|＝；

(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝2，

|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝1.

∴|a＋b|＝，|a－b|＝1.

令a＋b与a－b的夹角为θ，

∴cos θ＝＝＝.

即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是.

21.

22. （1）证明：设AC∩BD=H，连结EH.

在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点.

又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA. ……………2分

又EH平面BDE且PA平面BDE，所以PA∥平面BDE. ……………4分

（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC. ……………6分

由（1）可得，DB⊥AC. ……………7分

又PD∩DB=D，故AC⊥平面PBD。……………8分

（3）解：由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，

所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角. …………………….9分

由AD⊥CD，AD=CD=1，
，

可得

……………10分

在Rt△BHC中，

所以直线BC与平面PBD所成的角的余弦值为
……………12分