考试时间：120分钟 总分：150

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知
，那么下列不等式成立的是（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知
中,
,
,
,那么
（ ）

A.
　 B.
C.
或
D.
或

3．设某批电子手表正品率为
，次品率为
，现对该批电子手表进行测试，设第
次首次测到正品，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

4.不等式
的解集是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．给出下面结论：①命题：“
，使
”的否定为
：“
，
”；②设
,当逐渐变大时，其正态分布曲线越来越“高瘦”；

③当变量
的线性相关系数
时，则线性回归方程中的斜率
；

④“
”是“
”的充分不必要条件。其中正确结论的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

6.如图所示，正方体
的棱长为1，
，
是线

段
上的动点，过点
做平面
的垂线交平面
于点
，则

点
到点距离的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

7．设x、y满足约束条件
的最大值为（ ）

A．0 B．
C．
D．3

8. 已知
，若不等式
恒成立，则的最大值等于（ ）

A．10 B．9 C．8 D．7

9．设等差数列
的前项和为
，若
，则
中最大的是（ ）

A.
B.
C.
D.

10．5名“世博会”志愿者要分配到4个场馆服务，每个场馆至少分配1名志愿者，若志愿者甲不去A场馆，则分配方法有（ ）种

A．90 B．120 C．150 D．180

11．正三棱锥
的侧棱长和底面边长相等，如果E、F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成角为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知数列
满足:
，
，用
表示不超过的最大整数，如
，

，则
的值等于（ ）

A． B． C．
D．

二．填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将正确答案直接填在答题卷相应的位置)

13．随机变量
服从正态分布
，已知
，则
。

14.任意地向（0,1）上投掷一个点，用表示该点坐标，且

_______。

15．.在二项式
的展开式中各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N且
，则展开式中含
项的系数为 。

16. 如果有穷数列
满足条件：
，
，……，
，即
，我们称其为

“对称数列”，例如数列
和
都是“对称数列”。已知数列
是项数不超过

的“对称数列”，并使得
依次为该数列中连续的前项。则数列
的前
项和
可以是： ①
； ②
；

③
；

④
；

⑤
。

其中正确结论的序号为 。（请写出所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题共6小题，共计70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．(本小题满分10分)设
的内角、、
的对边分别为、
、，且满足
。

（1）求角的大小；

（2）若
，求
周长的最大值．

18．(本小题满分12分)一个袋中有大小相同的标有
的
个小球，某人做如下游戏：每次从袋中取出一球（取后放回），并记下球的标号。若取出球的标号是
的倍数，则得分，否则得
分。

（1）求取球次至少得分的概率；

（2）求取球次所得分数
的分布列和期望.

19．（本小题满分12分）如图，正方形
与梯形
所在平面互相垂直，

，点
在线段
上且不与、
重合。

（1）当点
是
中点时，求证：
；

（2）当平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
时，求三棱锥
的体积.

20．(本小题满分12分)已知数列
是各项均不为
的等差数列，公差为
，
为其前项和，且满足

，
．数列
满足
，
为数列
的前项和。

（1）求
和
；

（2）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

21．（本小题满分12分）在五边形
中（图一），
是
的垂直平分线，
为垂足．
，
，
，为
的中点．沿对角线
将四边形
折起，使平面
平面
（图二）。

（1）求证：
∥平面
；

（2）当
时，求直线
与平面
所成角的正弦值.

22．（本小题满分12分）已知数列
满足
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
求数列
的前项和为
；

（3）令
，数列
的前项和为
，求证：
.

新余四中2014-2015学年度高二年级下学期开学考试

数学试题（理科）参考答案

17．【解析】（1）∵
，

∵

∴

∴

∴

在△
中，
．

∴
，
………………5分

(2)
，
， …………6分

∴

。 …………8分

又
，∴
，∴
…………9分

∴
故
周长的最大值3 …………………10分

另解：
得1=

化简得
，

故
周长的最大值3

18．【解析】（1）设取出球的号码是3的倍数的为事件A，

则
，
，
2分

取球4次至少得2分包括2分和4分两种情况，

，
，
4分

6分

（2）
的可能取值为
，
7分

则
；
8分

；
9分

；
10分

；
；

分布列为

P




























11分

12分

19．【解析】（1）以
分别为
轴建立空间直角坐标系则

即
…………5分

（2）依题意设
，设面
的法向量

则
，

令
，则
，面
的法向量

，解得
…………9分

为EC的中点， …………10分

又
，到面
的距离

…………12分

20．【解析】：（1）在
中，令
，
，

得
即
解得
，
………1分

……………2分

， ……………4分．

． ……………6分

（2）①当为偶数时，要使不等式
恒成立，

即需不等式
恒成立．

，等号在
时取得．

此时
需满足
． …………………9分

②当为奇数时，要使不等式
恒成立，

即需不等式
恒成立．

是随的增大而增大，
时
取得最小值
．

此时
需满足
． ………………11分

综合①、②可得
的取值范围是
． ………………12分

21．【解析】：（1）设
为BC中点，连PM，DM 依题意，

∵P、M分别为AB、BC的中点，∴

∴
，

∴四边形PMDE为平行四边形，∴

又
平面DBC，
平面DBC，

∴
平面DBC ……………5分

（2）以点
为原点，直线
所在直线分别为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设
，则
、
、
、
、
、

所以
、
、

设平面
的法向量为
，

则由
，得
，令
，则

，∴