桂林市第十八中学13级高二下学期期中考试卷数学

注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间：120分钟 。答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置，将条形码张贴在指定位置。

2、选择题答案用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。

3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1． 若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则

A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}

2．已知复数
，则复数等于

A．
　　 　B．
C．
D．

3．某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现抽取30人进行分层抽样，其中级职称人数为

15 12 10
9

4．已知角的终边经过点
，则
＝

A. B. C．－ D．－

5．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．

6．设
则

A．
B．
C．
D．

7．直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于 （　　）

A．
B．2 C．
D．

8．执行如图所示的程序框图，如果输入的
那么输出的S的

最大值为

A． 0 B．1

C．2 D.3

9．已知双曲线
的焦点分别为
，

以
为直径的圆交双曲线于点，若
，则双曲线离心率为

10．我们知道，在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值
，

类比上述结论，在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为

　A．
B．
C．
D．

11．图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的

体积为V1，直径为4的球的体积为V2，则V1:V2等于

A．1:2 B．2:1 C．1:1 D．1:4

12.已知函数
，

若存在实数
，

且
则
的取值范围是

A.(0，12) B.(4.16) C.(9，21) D.(15，25)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．在等差数列
中，
，
，则
．

14．抛物线
与直线
交于
两点，则
.

15．已知函数
，若函数
的图象在
处的切线方程为

.

16．已知球
的半径为4,圆
与圆
为该球的两个小圆,
为圆
与圆
的公共弦,

, 则两圆圆心的距离|MN|的最大值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，且
。

(1) 求
的值；

(2) 若
，
，求△ABC的面积。

(1)由正弦定理得
,

得
，

。

（2）
,

又
得
，

18.已知
是递减的等差数列，
是方程
的根．

(1)求
的通项公式；

(2)求数列
的前n项和．18．解：(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.

由题意得a2＝3，a3＝2.

设数列{an}的公差为d，则a3－a2＝d，

故d＝－1，从而得a1＝4.

所以{an}的通项公式为an＝－n+5 …………………………………5分

(2)设的前n项和为Sn，由(1)知
，

则

两式相减得

即

　　　　　得

19.为研究某市高中教育投资情况，现将该市某高中学校的连续5年的教育投资数据进行统计，已知年编号与对应教育投资（单位：百万元）的抽样数据如下表：

单位编号

1

2

3

4

5



投资额

3.3

3.6

3.9

4.4

4.8



求关于的线性回归方程；

利用（1）中的回归方程，分析5年来的该高中教育投资变化情况，预测该高中未来5年的教育投资总和约为多少？

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

（参考公式：回归直线方程式
其中
）

19.解析：（1）由所给数据计算得
，

，
，
，∴

∴所求回归方程为
………………………………………………………………………….8分

（2）由（1）知：未来5年的教育投资呈等差数列的关系，其首项为5.14，公差为0.38，

∴预测该高中未来5年的教育投资总和约为：
（百万元）…12分

20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥S一ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60°，∠BAD=135°，AD=DC=
，

SA=SC=SD=2．

（I）求证：AC⊥SD；

（Ⅱ）求二面角A - SB -C的余弦值．

20. 解：（Ⅰ）证明：如图，取
的中点，连接
交
于
点,

由题意知四边形
为正方形，所以
为
的中点，

.

因为
，所以
,

又因为
，所以
平面
,

因为
平面
，所以
. …………5分

（Ⅱ）（解法一）如图，由（Ⅰ）知
,因为
，所以点
是点
在平面
上的射影， 所以
平面
,则
，又因为
为等腰直接三角形，所以
,所以有
平面
,

则平面
平面
. …………6分

设
,则
,
,
,
.

取
的中点,连接
,则
,所以
平面
.

过作
,垂足为
，连接
,

则
为二面角
的平面角. …………9分

可求得
，
,
.

所以

，

所以二面角
的余弦值为
. …………12分

已知椭圆
的一个焦点
，长轴顶点到点
的距离为
，O为坐标原点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过A点的动直线
与椭圆C相交于M，N两点，当
的面积最大时，求
的方程。

21、（本题满分12分）

已知函数
，
。

（1）当
时，讨论函数
的单调区间；

（2）当
时，是否存在实数，使
的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

21.解析：（1）
.

∴当
时，
；当
时，——

∴函数的单调递增区间是
；单调递减区间是
……………………………………..5分

（2）假设存在实数，使
有最小值3，
…6分

①当
时，
，所以
，
在
递减，

（舍去），此时
无最小值………………..8分

②当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，

，满足条件。……………………………………….10分

③当
时，
，所以

在
上单调递减，
（舍去），此时
无最小值；

综上，存在实数
，使得当
时，
有最小值3.…………………………………12分

解析：
，
，依题意得
，即
，所以
，选C．

7．已知数列
的前9项和S9=

A．—2 B．0 C．4 D．6

解析：因为
，所以数列
为等差数列，由
得
，

所以
，所以
选B．

8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．24+
B．24+2
C．12+4
D．12 +2

解析：该几何体是底面边长为，侧棱长为的正三棱柱，其表面积为

．选B．

4. 若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为

A.2 B.4 C.6 D.8

5．已知
,
点
在
内，且
，设

，则
等于

A．
B．3 C．
D．

6．函数
有零点，则m的取值范围

A．
B．

C．
或
D．

7.

8． 已知数列
的通项公式是
，其前项和是
，对任意的
且
，则
的最大值是

A．4 B、10 C、7 D、与n、m的取值有关

11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位
）

A．
B．

C．
　D．

C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知函数
，若函数
的图象在x=2处的切线方程为

。

13.解析：因为
，又
在
处的切线方程为
，斜率为，所以
，解得
．

14．抛物线C:y2= 2x与直线l:y=
交于A，B两点，则| AB|= 。

14.解析：抛物线的方程为
，则
，得
，

即