阳东广雅中学2014～2015学年第二学期高二年级期中考试试卷理科数学

第一部分 选择题

一、选择题：本大题共8小题, 每小题5分, 满分40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．

1．复数
在复平面上对应的点的坐标是

A．
B．
C．
D．

2．下列命题中，假命题是

A．
B．

C．
D．

3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有

A．12种 B．24种 C．48种 D．120种

4. 定积分
的值为

A．
B．1 C．
D．2

5．若
，
，其中
，则
=

A．
B．
C．
D．

6．双曲线
的一条渐近线方程为
，则该双曲线的离心率的值为

A．
B．
C．
D．2

7．观察
，
，
，由归纳推理可得：若
是定义在上的奇函数，记
为
的导函数，则

A．
B．
C．
D．

8．一平行六面体
中，顶点为端点的三条棱长均为1，且它们两两夹角均为
，那么对角线
的长为

A．
B．
C．2 D．

第二部分 非选择题（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9．焦点为
的抛物线的标准方程是 ．

10．在
的展开式中，
的系数为 ．

11．从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有____________

12．设复数
则复数
的虚部等于 .

13．在平面上，若两个正三角形的边长之比为
，则它们的面积比为
；类似地：在空间，若两个正四面体的棱长比为
，则它们的体积比为 ．

14．已知函数
及其导函数
的图象如图所示，则曲线
在点
处的切线方程是 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）求
；

（2）求函数
的单调区间．

16．（本小题满分12分）

某中学校本课程共开设了
共门选修课,每个学生必须且只能选修门选修课,现有该校的甲、乙、丙
名学生.

(Ⅰ) 求这
名学生选修课所有选法的总数；

(Ⅱ) 求恰有门选修课没有被这
名学生选择的概率；

(Ⅲ) 求选修课被这
名学生选择的人数
的分布列

17． （本小题满分14分）

观察下列三个三角恒等式

（1）
．

（2）
．

（3）
．

的特点，由此归纳出一个一般的等式，使得上述三式为它的一个特例，并证明你的结论．

（说明：本题依据你得到的等式的深刻性分层评分．）

18．（本小题满分14分）

如图，已知四棱锥
的底面
是矩形，
、
分别是
、
的中点，
底面
，
，
．

（1）求证：
平面
；

（2）求二面角
的余弦值．

19．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，已知椭圆
过点
，且椭圆的离心率为
．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在以
为直角顶点且内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由．

（本小题满分14分）

己知函数
．

求函数
的定义域；

(2) 求函数
的增区间；

(3) 是否存在实数，使不等式
在
时恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

阳东广雅中学2014～2015学年第二学期高二年级期中考试

理科数学答案及说明

选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分．

1．【解析】选D．
．

2．【解析】选C．因为
，所以C不确．

3．【解析】选B．
．

4．【解析】选A．
．

5．【解析】选C．．

6．【解析】选C．由已知得
，所以，
，故
，即

所以
．

7．【解析】选D．由给出的例子可以归纳推理得出“奇函数的导数是偶函数”，所以
．

8．【解析】选A．

，所以
．

第二部分非选择题（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9．【解析】填
．因为
，所以
，开口向右，所以标准方程为
．

10．【解析】填10．因为
，所以
的系数为10．

11．【解析】240

12．【解析】填1．

13．【解析】填
．体积比为相似比的立方．

14．【解析】填
．因为切线的斜率为
，所以切线方程为
，即
．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．（本小题满分12分）

【解析】（1）因为
． （2分）

（2）要使
有意义，则的取值范围是
． （4分）

由
得
． （5分）

因为
，所以
，即
，或
． （7分）

由
得
（8分）

因为
，所以
，即
． （10分）

所以
的单调增区间为
；单调减区间为
． （12分）

（本小题满分12分）

.【解析】(Ⅰ)每个学生有四个不同选择,根据分步计数原理,选法总数
………2分

(Ⅱ) 设“恰有门选修课没有被这
名学生选择”为事件,则

,即恰有门选修课没有被这
名学生选择的概率为
.…………………6分

(Ⅲ)
的所有可能取值为
,且

,
,

,
………………………………………………10所以
的分布列为























17．（本小题满分14分）

【解析】以下给出两个层次解答供参考．

等式一：若
，且
，则

（4分）

证明如下：

因为
，所以
（6分）

即
（8分）

所以
（10分）

即

移项得
（12分）

等式二：若
，则

（6分）

证明如下：

因为
（10分）

所以
（12分）

即

移项得
（14分）

18．（本小题满分14分）

【解析一】（1）以点为原点，
为轴，
为轴，
为轴的空间直角坐标系，如图所示．则依题意可知相关各点的坐标分别是：
，
，
，
，
如下图所示．……………………………………………………………………………（2分）

所以
点的坐标分别为

…………………………………………（3分）

所以
，
，
（4分）

因为
，所以
． （6分）

又因为
，所以
（7分）

所以
平面
． （8分）

（2）设平面
的法向量
，则
， （9分）

所以

即
（10分）

所以

令
，则

显然，
就是平面
的法向量． （11分）

所以
（12分）

由图形知，二面角
是钝角二面角 （13分）

所以二面角
的余弦值为
． （14分）

【解析二】（1）取
的中点
，连接
，则

，又
，所以四点
共面.

因为
，且
（2分）

所以
.

又因为
，

所以
平面
. （4分）

所以

所以
平面
. （6分）

易证

所以
平面
． （8分）

（2）连接
，则

所以
. （9分）

同（1）可证明
平面
.

所以
，且平面
平面
.

明显
，所以
. （10分）

过作
，垂足为
，则
平面
.

连接
，则
（11分）

因为
，

所以
平面
，

为二面角
平面角的补角. （12分）

在
中，
，所以
.

在
中，
.

所以
. （13分）

所以二面角
的余弦值为
． （14分）

（本小题满分14分）

【解析】（1）由
得
， （1分）

又
． （2分）

故椭圆方程为
，

椭圆经过点
，则

． （3分）

所以
（4分）

所以椭圆的标准方程为
． （5分）

（2）假设存在这样的等腰直角三角形
.

明显直线
的斜率存在，因为点的坐标为
，设直线
的方程为
，则直线
的方程为
． （6分）

将
的方程代入椭圆
得

所以
，或