广东实验中学2014—2015学年（下）高二模块考试理科数学

第一部分 基础检测(共100分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知是实数，
是纯虚数，则=（ ）

A．1 B．
C．
D．
2．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点
﹐球面上有两个点，的坐标分别为
，
，则
（ ）

A．
B．12 C．
D．

3. 若
是任意实数,且
,则下列不等式成立的是 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分。已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分的均值是（ ）

A．0.7 B．6 C．4.2 D．0.42

5．设函数f(x)＝xex，则 (　　)

A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点

C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点

6．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝ (　　)

A． B． C． D．

7．函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为(　　)

8．如图1所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，

它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端

的数均为

，每个数是它下一行左右相邻两数

的和，如
，
，
，…，

则第10行第4个数（从左往右数）为

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．

9．
展开式中的常数项为

10．若等比数列{
}的首项为
，且
，则公比等于_____________。

11．若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.

12．已知(1＋mx)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则m＝ .

三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

13．（本小题满分12分）

已知
，求
的值.

14．（本小题满分12分）

某射手进行射击训练，假设他每次击中目标的概率为
，且每次射击的结果互不影响.

求他在3次射击中，至少有1次击中目标的概率；

求他在3次射击中，恰有两次连续击中目标的概率；

求他在第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率.

15．（本小题满分12分）

若

（1）求
及
的值；

（2）求
的值。

第二部分 能力检测(共50分)

四、填空题：本大题共2小题，每小题6分，共12分．

16．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是

17．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率为

五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分12分）

甲、乙两人在罚球线互不影响地投球，命中的概率分别为
与
，投中得1分，投不中得0分.

（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和
的数学期望；

（2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求甲恰好比乙多得分的概率.

19．（本小题满分13分）

已知椭圆C:
的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点
满足条件
。

（1）求m的值

（2）设过点F的直线L与椭圆C相交于M，N两点，记
和
的面积分别为
，求证：

20．（本小题满分13分）

已知函数
令
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）若关于的不等式
恒成立，求整数的最小值；

（Ⅲ）若
，正实数
满足
，证明：

广东实验中学2014—2015学年高二下模块考试

理科 数学参考答案

第一部分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1～8 A C D C D B D B

二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．

9.40 10. 3 11. 2 12.-1 16.
17.

三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

13. （本小题满分12分）

13.已知
，求
的值.

解：∵
…………3分

， …………6分

， …………9分

∴
…………12分

14.（本小题满分12分）

某射手进行射击训练，假设他每次击中目标的概率为
，且每次射击的结果互不影响.

求他在3次射击中，至少有1次击中目标的概率；

求他在3次射击中，恰有两次连续击中目标的概率；

求他在第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率.

解：设
表示选手第次射击击中目标，

所求事件的对立事件为选手3次都没击中目标即事件
，

因为
相互独立，

所以
=
，

所以
。

答：求他在3次射击中，至少有1次击中目标的概率为
…………4分

所求事件对应
，因为
互斥，所以

=

答：求他在3次射击中，恰有两次连续击中目标的概率为
…………8分

所求事件指前三次射击有2次射中，1次不中，第4次射中。

答：求他在第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率为
…………12分

15. （本小题满分12分）

若

（1）求
及
的值；

（2）求
的值。

解：（1）令
得：

…………2分

令
得：
， …………4分

即
，

因此
…………7分

（2）由于

，故分子含的4次方的系数为
。…………12分

（也可先求出每个括号展开式中
的系数，再求和：
）

18.（本小题满分12分）

甲、乙两人在罚球线互不影响地投球，命中的概率分别为
与
，投中得1分，投不中得0分.

（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和
的数学期望；

（2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求甲恰好比乙多得1分的概率.

解：（1）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则与相互独立，且P（A）=
，P（B）=
，P（
）=
，P（
）=
.…………1分

甲、乙两人得分之和
的可能取值为0、1、2，…………2分

…………4分

则
概率分布为：

0

1

2













…………5分

=0×
+1×
+2×
=
.…………6分

答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和
的数学期望为
.…………7分

（2）设甲恰好比乙多得1分为事件
，甲得1分且乙得
分为事件
，甲得分且乙得1分为事件
，则
=
+
，且
与
为互斥事件. …………8分

…………11分

答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，甲恰好比乙多得1分的概率为
。…………12分

19.（本小题满分12分）

已知椭圆C:
的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点
满足条件
。

1)求m的值

2）设过点F的直线L与椭圆C相交于M，N两点，记
和
的面积分别为
，求证：

解(1)由
得 椭圆

又
,所以
,得:
…………3分

(2)若直线的斜率不存在,则有
,
,符合题意. …………4分

若直线的斜率存在,设直线的方程为
,

由

…………6分

因为

, …………9分

所以
, …………10分

所以
…………12分

20. （本小题满分14分）

已知函数
令
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）若关于的不等式
恒成立，求整数的最小值；

（Ⅲ）若
，正实数
满足
，证明：

20.解：⑴

……………………2分

由
得
又
所以
．所以
的单增区间为
. ………4分

（2）方法一：令

所以
．

当
时，因为
，所以
所以
在
上是递增函数，

又因为

所以关于的不等式
不能恒成立． ………………………6分

当
时，
．

令
得
，所以当
时，
当
时，
．

因此函数
在
是增函数，在
是减函数．

故函数
的最大值为
…………8分

令
因为

又因为
在
上是减函数，所以当
时，
．

所以整数的最小值为2． ……………10分

方法二：⑵由
恒成立，得
在
上恒成立．

问题等价于
在
上恒成立．

令
，只要
． ……………………6分

因为
令
得
．

设
，因为
，所以
在
上单调递减，

不妨设
的根为
．当
时，
当
时，
．

所以
在
上是增函数；在
上是减函数．

所以
． …………………8分

因为

所以
此时
所以
即整数的最小值为2 …… 10分

（3）当
时，

由
即

从而
……………………13分

令
则由
得，

可知
在区间（0，1）上单调递减，在区间
上单调递增。所以

所以
即
成立. ………………………14分