广东实验中学2014—2015学年高二下期中考试 文科数学

命题：高二文科数学备课组

本试卷分选择题、非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．集合
，
，则
（ ）

A． B．
C．
D．

2．已知复数
，则的虚部是 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3. 已知平面向量
，且
，则
（ ）

A．
B.
C. D.

4. 等比数列
中,已知
,则
（ ）

A. 6 B. 8 C. 10 D. 16

5. 下列函数中，既是偶函数又在
上单调递增的是 （ ）

A.
B.
C.
D.

6. 利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的有 个 ( )

（1）
（2）

（3）
（4）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D.3个

7．
，则“
”是“
”的 （ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件

8．设S为复数集C的非空子集.若对任意
，都有
，则称S为封闭集。下列命题：①集合S＝{a＋bi|（
为整数，为虚数单位）}为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有
；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足
的任意集合也是封闭集.

上面命题中真命题共有哪些？（ ）

A. ① B.①② C.①②③ D. ①②④

9.已知实数x、y满足约束条件
若目标函数
的最大值为7，则
的最小值为( )

A.3 B.4 C. 7 D.12

10.已知
为R上的奇函数，且满足
，当
时，
，则
( )

A.2 B.-2 C.8 D.-8

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，满分25分)

11.函数
的定义域是

12.若
，则函数
的解析式为
=

13. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：
．

问：在该时段内，当汽车的平均速度等于 时，车流量最大？

14.

15.定义在上的奇函数
,当
时,
,则方程
的所有解之和为 ．

三.解答题(本大题共6小题，满分75分；写出必要的解答过程)

16（本小题满分10分）

某校高二年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．

同意

不同意

合计



教师

1







女生



4





男生



2





⑴请完成此统计表；

⑵试估计高二年级学生“同意”的人数；

⑶从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．

17.(本小题满分12分)

在
中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，c=2，
.

（1）若△ABC的面积等于
，求a，b；

（2）若
，求b.

18. (本题满分14分)

一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为的正方形，左视图是直角边长为的等腰三角形）如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）当FG=GD时，证明
//平面FMC；

（Ⅲ）.求三棱锥
的体积

19. (本题满分13分)已知数列
的各项均大于1，前n项和
满足
。

（Ⅰ）求
及数列
的通项公式；

（Ⅱ）记
，求证：
。

20（本题满分13分）

椭圆方程为
的一个顶点为
，离心率
.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线
：

与椭圆相交于不同的两点
满足
，求
.

21（本小题满分13分）

已知函数

(1)若
a的值；

(2)求函数
的单调区间；

(3)若函数
没有零点，求a的取值范围.

高二下期中 文数答案 姓名

CBCBD BBBCB

11.
12.
(不写定义域扣2分) 13. 30

14.
15．
．

16（本小题满分10分）

解：⑴由分层抽样可知，男生、女生和教师被抽取的人数分别为
，被调查人答卷情况统计表：

同意

不同意

合计



教师

1[

1

2



女生

2

4

6



男生

3

2

5



 ⑵
（人）

⑶ 设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；

其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8种满足题意，则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为
．

17.(本小题满分12分)

（1）由余弦定理及已知条件得
…………2分

又
得
. ………4分

联立
解得
. ………6分

(2)由
得，
……7分

……9分

由正弦定理得
……12分

18. (本题满分14分)

一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为的正方形，左视图是直角边长为的等腰三角形）如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）当FG=GD时，证明
//平面FMC；

（Ⅲ）.求三棱锥
的体积

【解】（Ⅰ）由三视图可知，多面体是直三棱柱，两底面是直角边长为的等腰直角三角形，侧面
,
是边长为的正方形。.. ………………………………………3分

连结
, 因为
, 又CD、AD相交,所以，
面

又，
, 所以，
面
,
面
所以
……..6分

（Ⅱ）连结
交
于
,连结

因为
分别是
的中点，所以
//
,

//
,所以，
//
,
是平行四边形…………………9分

∥
,
面
,
面

所以，
//平面FMC. ………………………10分

（Ⅲ）

. …………………12分

＝
. ………………………………………………14分

另解：

19. (本题满分13分)已知数列
的各项均大于1，前n项和
满足
。

（Ⅰ）求
及数列
的通项公式；

（Ⅱ）记
，求证：
。

（Ⅰ）解：n=1时，
，因为
，所以
…………………1分

时，
①，
②

两式相减得
，即
…………………4分

整理得
，即
，因为
，所以

故
，………………………………………………………………………6分

所以
是首项和公差均为1的等差数列，可得
……………………………………7分

（Ⅱ）证明：
………………………………………………………9分

故
…11分

……………………………………………13分

20（本题满分13分）

椭圆方程为
的一个顶点为
，离心率
。

（1）求椭圆的方程；

（2）直线
：

与椭圆相交于不同的两点
满足
，求
。

【解】（1）设
，依题意得
…… 2分

即
…… 3分

∴
，即椭圆方程为
。 …… 4分

（2）

∴
，且点线段
的中点，

由
消去得

即
（*） …………6分

由
，得方程（*）的
，显然方程（*）有两个不相等的实数根。 ……… 7分

设
、
，线段
的中点
，

则
，

∴
，即
……… 9分

，∴直线
的斜率为
，…… 10分

由
，得
，…… 12分

∴
，解得：
，…… 13分,即为所求.

21（本小题满分14分）

(1)
.……1分 由题意
，所以a=-4 ……2分

（2）因

当
时，在
时，
,所以
的单调区间是
；……4分

当
时，
与
在定义域上的情况如下：

的单调减区间是
，单调增区间是
.……7分

（3）由（2）可知

①当
时，
是函数
的单调增区间，

且有
，所以，此时函数有零点，不符合题意；9分

②当
时，函数
在定义域
上没有零点；……10分

③当
时，
是函数
的极小值，也是函数
的最小值，所以

当
，即
时，函数
没有零点.……12分

综上所述，当
时，
没有零点.……13分