津中、广实2013级高二年级联考 数学学科试卷（理科）

2015.5

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）

1.已知
是的共轭复数，且
，则复数
=（ ）

A．
B.
C．
D．

2. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是 ( )

A．假设三个内角都不大于60度 B．假设三个内角都大于60度

C．假设三个内角至多有一个大于60度 D．假设三个内角至多有两个大于60度

3.
在区间
上的最大值是 （ ）

A．
B．0 C．2 D．4

4函数
在
处取到极值，则的值为( )

5.从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数，组成复数
，其中虚数有（　 ）

A．30个 B．42个 C．36个 D．35个

6.由直线
，
，曲线
及轴所围成的图形的面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.函数
在点
处的切线方程是（ ）

A .
B.
C .
D.

8.给出下面四个类比结论：

①实数
，若
，则
或
；类比向量
，若
，则
或

②实数
，有
；类比向量
，有

③向量
，有
；类比复数有

④实数
，有
，则
；类比复数
，有
，则

其中类比结论正确的命题个数是( )

A. 0 B . 1 C. 2 D. 3

9.函数
(
,则（ ）

A．
B.

C．
D.
大小关系不能确定

10.函数
的图象大致是（ ）

A　　　　　　　　 B　　　　　　　　　　C　　　　　　　 D

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．)

11. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有　　 种不同的方法（用数字作答）;

12.一物体沿直线以速度
（的单位为:秒,的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程是_____

13.下表给出了一个“三角形数阵”：

依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是

14.将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有 （ ）种。

15.若函数
在区间
上是单调递增函数，则实数的取值范围是

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.(12分)已知复数
.

（Ⅰ）求及
；

（Ⅱ）若
，求实数
的值．

17(12分).已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）求函数
在
上的最大值和最小值.

18. (12分)已知
的展开式的前三项的系数成等差数列；

（1）求
展开式中所有的有理项；

（2）求
展开式中系数的绝对值最大的项。

19. (13分)根据某校五年发展规划，学校将修建一座长
米,宽
米的长方形体育馆．按照建筑要求,每隔米需打建一个桩位,每个桩位需花费
万元（桩位视为一点且打在长方形的边上）,桩位之间的米墙面需花
万元,在不计地板和天花板的情况下,当为何值时,所需总费用最少？

20．（ 13分）在数列
中，已知
，且
。

(1)用数学归纳法证明：
；

(2)求证
.

21．（ 13分）已知
在
时有极值0。

（1）求常数 a,b的值；

（2）求f(x)的单调区间。

（3）方程f(x)=c在区间[-4,0]上有三个不同的实根时实数的范围。

广德实验高中2014-2015学年度高二下学期期中考试数学试卷（理科）

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

1.已知
是的共轭复数，且
，则复数
=（ B ）

A．
B.
C．
D．

2. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是 ( B )

A．假设三个内角都不大于60度 B．假设三个内角都大于60度

C．假设三个内角至多有一个大于60度 D．假设三个内角至多有两个大于60度

3.
在区间
上的最大值是 （C ）

A．
B．0 C．2 D．4

4函数
在
处取到极值，则的值为(B )

5.从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数，组成复数
，其中虚数有（C　 ）

A．30个 B．42个 C．36个 D．35个

6.由直线
，
，曲线
及轴所围成的图形的面积是（ D ）

A．
B．
C．
D．

7.函数
在点
处的切线方程是（ A ）

A
B
C
D

8.给出下面四个类比结论：

①实数
，若
，则
或
；类比向量
，若
，则
或

②实数
，有
；类比向量
，有

③向量
，有
；类比复数有

④实数
，有
，则
；类比复数
，有
，则

其中类比结论正确的命题个数是（B ）

A 0 B 1 C 2 D 3

9.函数
(
,则（ C ）

A．
B.

C．
D.
大小关系不能确定

10.函数
的图象大致是（ B ）

A　　　　　　　　 B　　　　　　　　　　C　　　　　　　 D

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．

11. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有　　 种不同的方法（用数字作答）; 1260

12.一物体沿直线以速度
（的单位为:秒,的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程是__10______

13下表给出了一个“三角形数阵”：

依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是 5/64

14将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有 （ 84 ）种。

15.若函数
在区间
上是单调递增函数，则实数的取值范围是 -1

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.已知复数
.

（Ⅰ）求及
；

（Ⅱ）若
，求实数
的值．

16. 解：
------------------------------------------------- 3分

------------------------------------------------- 6分

则得
，得
------------------------------- 10分

解得
------------------------------------------------- 12分

17.已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）求函数
在
上的最大值和最小值. 17. 解：(1)
. ------------------------------------------------- 2分

令
, ------------------------------------------------4分

解此不等式，得
.

因此，函数
的单调增区间为
.------------------6分

(2) 令
,得
或
.----------------------------------------8分

当变化时，
，
变化状态如下表：

-2



-1



1



2







+

0

-

0

+







-1



11



-1



11



 -------------------------------------------10分

从表中可以看出，当
时，函数
取得最小值
.

当
时，函数
取得最大值11.-----------------------------12分 18 (13分)已知
的展开式的前三项的系数成等差数列；（1）求
展开式中所有的有理项；（2）求
展开式中系数的绝对值最大的项。

18解：
。(1)
.(2)
19根据某校五年发展规划，学校将修建一座长
米,宽
米的长方形体育馆．按照建筑要求,每隔米需打建一个桩位,每个桩位需花费
万元（桩位视为一点且打在长方形的边上）,桩位之间的米墙面需花
万元,在不计地板和天花板的情况下,当为何值时,所需总费用最少？

19 解：由题意可知，需打
个桩位．------------------------2分

墙面所需费用为：
，-------------------------4分

∴所需总费用

（
）------------------------6分

令
，则

当
时，
；当
时，
．-----------------------------8分

∴当
时，取极小值为
．

而在
内极值点唯一，所以
．…………………………10分

∴当
时，
（万元），

即每隔3米打建一个桩位时，所需总费用最小为1170万元．……………………12分

20．（本题满分13分）在数列
中，已知
，且
。

(1)用数学归纳法证明：
；

(2)求证
.

20(1)证明：①当
时，
，命题成立.

②假设当
时，命题成立，即
.

则当
时，

所以当
时
也成立,

由①②得，对任意自然数，都有
.

(2)证明：
,由(1)可知
，

21．已知
在
时有极值0。

（1）求常数 a,b的值； （2）求f(x)的单调区间。

（3）方程f(x)=c在区间[-4,0]上有三个不同的实根时实数的范围。

21.解：（1）
，由题知：

………………2分

联立<1>、<2>有：
（舍去）或
………………4分

（2）当
时，

故方程
有根
或
……………………6分

x















＋

0

－

0

＋





↑

极大值

↓

极小值

↑



 由表可见，当
时，
有极小值0，故
符合题意 …