北京市2014～2015学年度第二学期期中考试高二数学（理）试卷

(考试时间：100分钟 总分：100分)

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）

1．已知复数满足：
（是虚数单位），则的虚部为（ ）

A．
B．
C． D．

2．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（ ）种不同的取法。

A.120 B.16 C.64 D.39

3．已知曲线
的一条切线的斜率为
，则切点的横坐标为（ ）

A．3 B．2 C．1 D．

4．由直线
,
,曲线
及轴所围成的封闭图形的面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．以下说法正确的是（ ）

A.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件

B.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件

C.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件

D.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件

6．设函数
，则
的极小值点为（ ）

A.
B.
C.
D.

7．已知
，
，
,．．．，以此类推，第5个等式为（ ）

A．

B．

C．

D．

8．在复平面内，复数
，
对应的点分别为，，则线段
的中点
对应的复数为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
是函数
的导函数，则
的图象大致是（ ）

10．设函数
在区间
上的导函数为
，
在区间
上的导函数为
，若区间
上
，则称函数
在区间
上为“凹函数”，已知

在
上为“凹函数”，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）

11．函数
在
上是增函数，则实数的取值范围是

12．设集合
,则方程
表示焦点位于轴上的椭圆有 个.

13．设
，则
为 。

14．已知复数
且
，则
的范围为 ．

15．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有
．设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥
，如果用
表示三个侧面面积，
表示截面面积，那么类比得到的结论是 ．

16．对定义在区间上的函数
和
，如果对任意
，都有
成立，那么称函数
在区间上可被
替代，称为“替代区间”．给出以下命题：

①
在区间
上可被
替代；

②
可被
替代的一个“替代区间”为
；

③
在区间
可被
替代，则
；

④
，则存在实数
，使得
在区间
上被
替代；

其中真命题的有

三、解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（本小题共8分）

已知函数
是
的一个极值点，求：

（1）实数的值；

（2）
在区间
上的最大值和最小值。

18. （本小题共8分）

若、
、均为实数，且
，
，

求证：、
、中至少有一个大于
。

19. (本小题共10分)

已知函数
．

（1）求函数
的单调区间；

（2）若函数
在
上有且仅有一个零点，求

的取值范围；

20. (本小题共10分)

已知数列
的各项均为正整数，对于任意
，都有
成立，且
．

（1）求
，
的值；

（2）猜想数列
的通项公式，并给出证明．

北京市2014~2015学年度第二学期期中考试

高二（理）试卷答案及评分标准

一、选择题

序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

A

A

B

D

D

D

A

C



二、填空题

11.
12.10 13.
14．
15．

16．①②③

三、解答题

17．（1）因为，
（1分）

在
处有极值，所以，
（2分）

即
所以，
。 （3分）

（2）由（1）知
，所以
（4分）

令
得
，

当变化时
的变化情况如下表：





















+



-



+


























 （7分）

从上表可知
在区间
上的最大值是，最小值是
。 （8分）

18.证明：假设
都不大于
，

即

∴
(4分)

∵

=

与上式矛盾

∴
中至少有一个大于
（8分）

19.(1)解：
（1分）当
时，
，则
在
上单调递增 （2分）当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增． （4分）

(2)解：由
，得
考查函数
(
)，则
（5分）令
，
（6分）当
时，
，∴
在
上单调递增 （7分）∴
,
，∴
在
上单调递增 （8分）∴
在
上的最小值为
，最大值为

（9分）

∴当
时，函数
在
上有且仅有一个零点

（10分）

20. （1）因为
，

当
时，由
，即有
，

解得
．因为
为正整数，故
． （2分）

当
时，由
，

解得
，所以
． （4分）

（2）由
，
，
，猜想：
（5分）

下面用数学归纳法证明．

1o当
，，
时，由（1）知
均成立． （6分）

2o假设
成立，则
，

由条件得
，

所以
， （8分）

所以
（9分）

因为
，
，
，

又
，所以
．

即
时，
也成立．

由1o，2o知，对任意
，
． （10分）