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大兴区农村四校高二年级第二学期期中统一考试 数学（理科）学科试卷 （考试时间90分钟 满分150分） 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）共两部分，第一卷为1页--2页，第二卷为2页—4页。 第一卷（选择题，共50分） 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.设，则在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若p：，q：，则p是q的（ ）条件 A.充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．的值为 ( ) A. B. C. D. 4．若命题p: 0是偶数，命题q: 2是3的约数.则下列命题中为真的是( ) A.p且q B.p或q C.非p D.非p且非q 设函数在处有导数，且，则（ ） A.1 B.0 C. 2 D. 6．,若,则的值等于（ ） A． B． C． D． 7．是复数为纯虚数的（ ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分也不必要条件 8. 设是函数的导函数，的图象如下图（1）所示，则的图象最有可能的是 （ ） A B C D 9．函数导数是 （ ） A. B. C. D. 10．函数y=2x3+1的图象与函数y=3x2-b的图象有三个不相同的交点,则实数b的取值范围( ) (A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2) 第二卷（非选择题，共100分） 填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 11. ； ； ； ； ； 12.复数的虚部为 ， 共轭复数 。 13．命题“”的否定是_________________． 14、定积分的值为 15．曲线在点处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 16.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法： ①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数； ②函数f(x)在区间(－1,1)上单调递增； ③函数f(x)在x＝－处取得极大值； ④函数f(x)在x＝1处取得极小值． 其中正确的说法是________． 三、解答题（本题共5题，共70分） 17.(本小题满分12分) 已知，复数，当为何值时， (1) ； (2)是虚数； (3)是纯虚数； .(本小题满分12分) 求函数在区间上的最值 19.（本小题满分15分） 已知曲线满足下列条件： ①过原点；②在处导数为－1；③在处切线方程为. (Ⅰ) 求实数的值； （Ⅱ）求函数的极值. (本小题满分15分) 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 21．(本小题满分16分) 已知函数，是常数，R． （Ⅰ）求曲线在点处的切线的方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （III）证明:函数的图象在直线的下方． 大兴区农村四校高二年级第二学期期中统一考试 数学（理科）参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.D , 2.B, 3.B, 4.B, 5.D, 6.D, 7.B, 8.C, 9.B, 10.B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11.略 （每空1分） 12.-1，1+i， 13.,， 14. 3+ln2， 15. 16.①④ 注：两个空的填空题第一空填对得3分，第二空填对得2分． 三、解答题（本大题共5小题，共70分） 17.（本题满分12分） 解：(1)m须满足解之得：m=－3. ------------4分 (2)m须满足m2+2m－3≠0且m－1≠0，解之得：m≠1且m≠－3. ---------------8分 (3)m须满足解之得：m=0或m=－2. --------------12分 18.（本题满分12分） 解： (1)f′(x)＝6x2－6x－12， ------------2分 令f′(x)＝0，则6x2－6x－12＝0， ------------3分 即x2－x－2＝0， 解得x1＝－1，x2＝2. ------------5分 列表如下： -2 （-2，-1） -1 （-1,2） 2 （2,3） 3 f′(x) + - + f(x) 1 12 -15 -4 ∴函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在x∈[－2,3]上的最大值为12，最小值为－15. -----------12分 19.（本题满分15分） 解 (Ⅰ)根据条件有 解得 -------------8分 （Ⅱ）由(Ⅰ)， -------------9分 令得 -------------11分 的关系如表所示 －1 + 0 － 0 + ↑ 极大值1 ↓ 极小值 ↑ 因此函数在处有极大值1，在处有极小值。 -------------15分 20.（本题满分15分） 解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为 . -------------3分 故长方体的体积为 -------------6分 从而 -------------8分 令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. -------------10分 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0， 故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。 ------13分 从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大为3 m3。 ------15分 21.（本题满分16分） 解：（Ⅰ） …………………1分 ，，所以切线的方程为 …………………3分 ，即． …………………5分 （Ⅱ）定义域为 …………………7分 （1）当时，，在为增函数 …………………9分 （2）当时， 令得，或 ①当时，在为增函数 ②当时，在上是增数，在是减函数 …………………11分 （Ⅲ）令 则 …………………13分 ↗ 最大值 ↘ ，所以且，，， 即函数的图像在直线的下方． ……………16分
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