屯溪一中2014-2015第二学期期中考试高二数学（理） 试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 如图是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是(　　)

2. 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证<a”索的因应是(　　)

A．a－b>0 B．a－c>0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0

3．下面四个在平面内成立的结论：①平行于同一条直线的两直线平行；②一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条也垂直；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④一条直线如果与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交．推广到空间后仍成立的是(　　)

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

4．向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a与b共线，则(　　)

A．x＝1，y＝1　B．x＝，y＝－ C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝

5．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)

6．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为(　　)．

A．－ B．0 C. D．5

7．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1，0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为(　　)

A．30° B．45° C．60° D．90°

8．定义在(0，＋∞)上的可导函数f(x)满足
<
，且f(2)＝0，则
>0的解集为(　　)

A．(0,2) B．(0,2)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．φ

9．对于向量a,b,c,d下列命题中：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②不等式|a＋b|＜|a|＋|b|的充要条件是a与b不共线；③若非零向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ、μ∈R，且λμ≠0)，则c⊥d.

正确命题的个数是(　　)．

A．0 B．1 C．2 D．3

10. 设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　)

A．?x∈R，f(x)≤f(x0) B．－x0是f(－x)的极小值点

C．－x0是－f(x)的极小值点 D．－x0是－f(－x)的极小值点

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中相应题号横线上。

11．直线y＝2x＋4与抛物线y＝x2＋1所围成的封闭图形的面积是________．

12.已知a＝(2，－1,1)，b＝(－1,4，－2)，c＝(11,5，λ)．若向量a，b，c共面，则λ＝________.

13. 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．

14．在等差数列{an}中，若公差为d，且a1＝d，那么有am＋an＝am＋n，类比上述性质，写出在等比数列{an}中类似的性质：________ .

15.已知f(x)＝
，给出以下几个结论：

①f(x)>0的解集是{x|0

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．(本小题满分12分)

如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤1)．

(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；

(2)若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．

17. (本小题满分12分)

已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为

y＝4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

18. (本小题满分12分)

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.

(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；

(2) 设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．

19．(本小题满分12分)

设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n∈N*)．

(1)求a1，a2；

(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明．

20．(本小题满分13分)

设x、y为正实数，a＝，b＝p，c＝x＋y.

(1)如果p＝1，则是否存在以a、b、c为三边长的三角形？请说明理由；

(2)对任意的正实数x、y，试探索当存在以a、b、c为三边长的三角形时p的取值范围．

21．(本小题满分14分)

已知函数f(x)＝当x＝时，函数f(x)有极大值.(1)求实数b，c的值；

(2)若存在x0∈[－1,2]，使得f(x0)≥3a－7成立，求实数a的取值范围．

参考答案：

1.【答案】　A

2. 【解析】　<a?b2－ac<3a2

?(a＋c)2－ac<3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0

?－2a2＋ac＋c2<0?2a2－ac－c2>0

?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.

【答案】　C

3.解析：选A.③两条直线可能平行，相交或异面，④不一定成立．①②正确．

4. 解析　由a∥b知，a＝λb，∴2x＝λ，1＝－2λy,3＝9λ，∴λ＝，x＝，y＝－.

答案　C

5. 【解析】　∵f(x)在x＝－2处取得极小值，

∴当x＜－2时，f(x)单调递减，

即f′(x)＜0；当x＞－2时，f(x)单调递增，即f′(x)＞0.

∴当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0；

当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；

当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0；当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；

当x＞0时，y＝xf′(x)＞0.结合选项中图象知选C.

【答案】　C

6.解析　因为f(x)是R上的可导偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)在x＝0处取得极值，即f′(0)＝0，又f(x)的周期为5，所以f′(5)＝0，即曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为0，故选B.

7. 解析　设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，

∵＝(－5，－1,1)，＝(－4，－2，－1)，

由n·＝0及n·＝0，得

令z＝1，

得x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．

又＝(－2，－1,3)，设AD与平面ABC所成的角为θ，则

sinθ＝＝＝，

∴θ＝30°.

答案　A

8.解析　[]′＝<0，

∴为减函数，∵f(2)＝0，∴＝0.

∴>0的解为0

9. 解析　只有命题③是正确命题．

10. 【解析】　不妨取函数为f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3(x－1)(x＋1)，易判断x0＝－1为f(x)的极大值点，但显然f(x0)不是最大值，故排除A.

因为f(－x)＝－x3＋3x，f′(－x)＝－3(x＋1)(x－1)，易知，－x0＝1为f(－x)的极大值点，故排除B；

又－f(x)＝－x3＋3x，[－f(x)]′＝－3(x＋1)(x－1)，易知，－x0＝1为－f(x)的极大值点，故排除C；

∵－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得－x0应为函数－f(－x)的极小值点．故D正确．

【答案】　D

11. 【解析】　解方程组得交点坐标为(－1,2)，(3,10)，在区间[－1,3]上，直线在抛物线的上方，因此所围成的封闭图形的面积S＝
－1(2x＋4－x2－1)dx＝＝9－＝.

【答案】　

12. 解析　由向量a，b，c共面可得c＝xa＋yb(x，y∈R)，

故有解得

答案　1

13.

13、【解析】　如图建立空间直角坐标系，

则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，

∴＝(2,0,0)，

＝(2,0,2)，＝(2,2,0)，

设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)，

则.

令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，

∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.

【答案】　

14. 【解析】　等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是 “在等比数列{an}中，若公比为q，且a1＝q，则am·an＝am＋n.”

【答案】　在等比数列{an}中，若公比为q，且a1＝q，则am·an＝am＋n

15. 解析　f(x)>0，又ex>0，∴2x－x2>0.∴0

令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝.

∵当x<－或x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当－0，f(x)单调递增．

∴f(－)是极小值，f()为极大值，故②正确．

由②知，f()为最大值，没有最小值，故③错，④正确．

答案　①②④

16. 解　

(1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，E(0,0，λa)，

∴＝(－a，a,0)，＝(－a，－a，λa)，

∴·＝0对任意λ∈(0,1]都成立，

即对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE.

(2)显然n＝(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，

设平面ACE的法向量为m＝(x，y，z)，

∵＝(－a，a,0)， ＝(－a,0，λa)，

∴即∴

令z＝1，则x＝y＝λ，∴m＝(λ，λ，1)．

∵二面角C－AE－D的大小为60°，

∴cos〈n，m〉＝＝＝，

∵λ∈(0,1]，∴λ＝.

17. 【解】　(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.

由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.

从而a＝4，b＝4.

(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，

f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).

令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.

从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；

当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，

在(－2，－ln 2)上单调递减．

当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．

18. [解析]　如图所示 ，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，－，)，A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，C1(，，)．

(1)易得＝(－，－，)，＝(－2，0,0)，于是cos〈，〉＝＝＝.

所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.

(2)易知＝(0,2，0)，＝(－，－，)．

设平面AA1C1的法向量m＝(x，y，z)，则

即

不妨令x＝，可得m＝(，0，)．

同样的，设平面A1B1C1的法向量n＝(x，y，z)，则

即

不妨令y＝，可得n＝(0，，)．

于是cos〈m，n〉＝＝＝，

从而sin〈m，n〉＝.

所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为.

(3)由N为棱B1C1的中点，得N.

设M(a，b,0)，则＝，

由MN⊥平面A1B1C1，得

即

解得故M，因此＝，

所以线段BM的长||＝.

19. 【解】　(1)当n＝1时，方程x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，

解得a1＝.当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，

∴2－a2－a2＝0，解得a2＝.

(2)由题意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得

SnSn－1－2Sn＋1＝0，

解得Sn＝.

由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.

猜想Sn＝(n∈N*)．

下面用数学归纳法证明这个结论．

①当n＝1时，结