桂林市第十八中学13级高二下学期期中考试卷数学文科）

注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间：120分钟 。答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置，将条形码张贴在指定位置。

2、选择题答案用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。

3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1． 若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则

A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}

2．已知复数
，则复数等于

A．
　　 　B．
C．
D．

3．某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现抽取30人进行分层抽样，其中级职称人数为

15 12 10
9

4．已知角的终边经过点
，则
＝

A. B. C．－ D．－

5. 已知函数
的反函数为
，则
（ ）

A.0 B.1 C.2 D.4

6．从{2，3，4}中随机选取一个数，从{2，3，4}中随机选取一个数
，则
的概率是

A.
B.
C．
D.

7．设
则

A．
B．
C．
D．

8．函数
的其中一个零点所在的区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．执行如图所示的程序框图，如果输入的
那么输出的S的

最大值为

A． 0 B．1

C．2 D.3

10．已知双曲线
的焦点分别为
，

以
为直径的圆交双曲线于点，若
，则双曲线离心率为

11．图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的

体积为V1，直径为4的球的体积为V2，则V1:V2等于

A．1:2 B．2:1 C．1:1 D．1:4

12. 我们知道，在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和 为定值
，类比上述结论，在棱长为的正四面体内任一点

到其四个面的距离之和为定值，此定值为

　A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．在等差数列
中，
，
，则
．

14．抛物线
与直线
交于
两点，则
.

15．已知函数
，若函数
的图象在
处的切线方程为

.

16．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分10分）△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，且
。

(1) 求
的值；

(2) 若
，
，求△ABC的面积。

18.已知
是递增的等差数列，
是方程
的根．

(1)求
的通项公式；

(2)求数列
的前n项和．

19.为研究某市高中教育投资情况，现将该市某高中学校的连续5年的教育投资数据进行统计，已知年编号与对应教育投资（单位：百万元）的抽样数据如下表：

单位编号

1

2

3

4

5



投资额

3.3

3.6

3.9

4.4

4.8



求关于的线性回归方程；

利用（1）中的回归方程，分析5年来的该高中教育投资变化情况，预测该高中下一年的教育投资约为多少？

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

（参考公式：回归直线方程式
其中
）

20．（本小题满分12分）

（本小题满分12分）如图，四棱锥S一ABCD中，已知AD∥BC，∠ADC=90°，∠BAD=135°，

AD=DC=
，SA=SC=SD=2．

（I）求证：AC⊥SD；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积.

21. （本题满分12分）已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.

(1)求a；

(2)证明：当k＜1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．

22. 已知椭圆
的两个焦点分别为
、
,短轴的两个端点分别为

(1)若
为等边三角形,求椭圆
的方程;

(2)若椭圆
的短轴长为,过点
的直线
与椭圆
相交于
两点,且
,求直线
的方程.

桂林市第十八中学13级高二下学期期中考试卷

数 学 （文科）

一、选择题答案

CADDA CCBDA AA

选择题提示

11．依题意，原几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥.球的体积
，

几何体的体积
，
，选A.

二、填空题

13． 8 14. 4 15.
16. 12

15.解析：因为
，又
在
处的切线方程为
，斜率为，所以
，解得
．

16.　[解析] 设该六棱锥的高是h.根据体积公式得，V＝××2××6×h，解得h＝1，则侧面三角形的高为＝2，所以侧面积S＝×2×2×6＝12.

三、解答题

17．(1)由正弦定理得
,

得
。 5分

（2）
,

又
得
，
10分

18．解：(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.

由题意得a2＝2，a3＝3.

设数列{an}的公差为d，则a3－a2＝d，

故d＝1，从而得a1＝1.

所以{an}的通项公式为an＝n …………………………………5分

(2)设的前n项和为Sn，由(1)知
，

则

两式相减得

即

　　得

19.解析：（ 1）由所给数据计算得
，

，
，
，∴

∴所求回归方程为
………………………………………………………………………….8分

（2）由（1）知：下年的教育投资约为
（百万元）…………….12分

21．解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.

曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y＝ax＋2.

由题设得－＝－2，所以a＝1. 3分

(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.

设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4，

由题设知1－k>0.

当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0， g(x)单调递增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，

所以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一实根．

当x>0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，

则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．

h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，

所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0， 所以g(x)＝0在(0，＋∞)上没有实根．

综上，g(x)＝0在R有唯一实根，

即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．

22．[解](1)设椭圆
的方程为
.

根据题意知
, 解得
,

故椭圆
的方程为
. 4分

(2)容易求得椭圆
的方程为
.

当直线
的斜率不存在时,其方程为
,不符合题意;

当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
.

由
得
.

设
,则

因为
,所以
,即

,

解得
,即
.

故直线
的方程为
或
.