2014-2015学年高二第二学期期中考试数学试卷（理）

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

第Ⅰ卷

一、选择题：该题共12个小题，每个小题有且只有一个选项是正确的，每题5分，共60分。

1.曲线y=
在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（ ）

A．
B．－
C．
D．

2.
是
的导函数，
的图象如右图所示，则
的图象只可能是（ ）

A． B． C． D．

3.
除以9的余数是（ ）

A．8 B．4 C．2 D．1

4.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有( )

A.48种 B.72种 C.96种 D.108种

5.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.某次联欢会要安排
个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类

节目不相邻的排法种数是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)等于(　　)

A.
p B．1－p C．1－2p D.
－p

8.从1,2,3，…，9这9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于 （ ）

9.已知与之间的一组数据：

则与的线性回归方程
必过点

A．(2,2)??B．(1,2)??C．(1.5,0)?????? D．(1.5,5)

10.下面说法：①如果一组数据的众数是5，那么这组数据中出现次数最多的数是5；

②如果一组数据的平均数是0，那么这组数据的中位数为0；

③如果一组数据1，2，x，4的中位数是3，那么x=4；

④如果一组数据的平均数是正数，那么这组数据都是正数．

其中错误的个数是 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

11.已知
，且
（是虚数单位）是实系数一元二次方程
的两个根，那么
的值分别是（　　）

Ａ．
Ｂ．

Ｃ．
Ｄ．

12. 实数x、y满足3x2＋2y2=6x，则x2＋y2的最大值为（ ）

A、
　　B、4 C、
　D、5

第Ⅱ卷

二、填空题：该题共4个小题，每题5分，共20分，请将答案规范书写在答题卡的相应位置。

13.设
，则二项式
展开式中的第项的系数为 ;

14.现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有 ▲ 种不同的选派方案.（用数字作答）

15.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系
中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线
的参数方程为
（为参数），曲线
的极坐标方程为
．则曲线
与曲线
的交点个数为________个．

16. 18.已知整数数对如下排列：
，按此规律，

则第
个数对为__________

解答题：该题共6个小题，共70分，请将正确答案规范书写在答题卡的相应位置。

17、（本小题满分10分）

极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为
，斜率为
的直线
交y轴于点E（0,1）．

（I）求C的直角坐标方程，
的参数方程；

（II）直线
与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB |。

18. （本小题满分12分）

已知
，求：

（1）
； （2）
.

19. （本小题满分12分）

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲、乙、丙面试合格的概率分别是
，
，
，且面试是否合格互不影响.求：

（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;

（Ⅱ）签约人数
的分布列和数学期望.

20．（本小题满分12分）

(1)用二项式定理证明：32n－8n－1能被64整除(n∈N*)；

(2)求230－3除以7的余数．

21. （本小题满分12分）

用0,1,2,3,4,5这六个数字，完成下面三个小题．

(1)若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；

(2)若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；

(3)若直线方程ax＋by＝0中的a、b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？

22. （本小题满分12分）

已知函数
(
,为自然对数的底数)

(Ⅰ)若函数
有三个极值点,求的取值范围

(Ⅱ)若存在实数
,使对任意的
,不等式
恒成立,求正整数的最大值

参考答案：

1.A 2.D 3.A 4.B 5.C 6.B 7.D 8.C 9.D 10.B 11.C 12.B

13.
14.55 15.1 16. （5,7）

17.

18、

19.解：用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且P（A）＝P（B）＝
， P（C）＝

（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是

（Ⅱ）
的可能取值为0，1，2，3.

＝

＝

=

=

所以
的分布列是

0

1

2

3





P












的期望

20．(1)证明　32n－8n－1＝9n－8n－1＝(8＋1)n－8n－1＝(C8n＋C8n－1＋C8n－2＋…＋C82＋C8＋C)－8n－1＝C8n＋C8n－1＋C8n－2＋…＋C82，

每一项都是64的倍数，

∴32n－8n－1能被64整除．

(2)解　230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3＝7[C79＋C78＋…＋C]－2.

∴230－3除以7的余数为5.

21.解　(1)5×6×6×6×3＝3 240(个)．

(2)当首位数字是5，而末位数字是0时，有AA＝18(个)；

当首位数字是3，而末位数字是0或5时，有AA＝48(个)；

当首位数字是1或2或4，而末位数字是0或5时，有AAAA＝108(个)；

故共有18＋48＋108＝174(个)．

(3)a，b中有一个取0时，有2条；

a，b都不取0时，有A＝20(条)；

a＝1，b＝2与a＝2，b＝4重复，

a＝2，b＝1，与a＝4，b＝2重复．

故共有2＋20－2＝20(条)．

22、

(II)不等式
,即
,即
.

转化为存在实数
,使对任意的
,

不等式
恒成立.

即不等式
在
上恒成立.

即不等式
在
上恒成立

设
,则
.

设
,则
,因为
,有
.

故
在区间
上是减函数

又