2013～2014学年度第一学期第一次单元检测

高三数学(理)试卷

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。

1、已知
,则[来源:Z|xx|k.Com]

A．
B。
C．
D。以上都不对

2．已知直线y＝kx是y＝ln x的切线，则k的值为(　　)．

A．e B．－e C. D．－

3、已知函数
，则
（ ）

A .0 B .3 C .1 D .

4、如果函数
的图象关于点A（1，2）对称，那么( )

A．p＝－2，n＝4 B．p＝2，n＝－4

C．p＝－2，n＝－4　 D．p＝2，n＝4

5、已知幂函数f(x)的图象经过点(，)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1

①
>
；②
<

③
>
； ④
<
.

.

A．①② B．①③

C．②④ D．②③

6、 知
且
，下列不等式正确的是 [来源:学科网]

A.
B.

C.
D.

7、下列命题错误的是

A.命题“若
”的逆否命题为“若

”

B. “
”是“
”的充分不必要条件

C. 若
为假命题，则
均为假命题

D. 对于命题
则

8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)．

A．(－
1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)

C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

9、设函数
的定义域为R,
是
的极大值点,以下结论一定正确的是 （　　）
[来源:学+科+网Z+X+X+K]

A．
B．
是
的极小值点

C．
是
的极小值点 D．
是
的极小值点

10、函数
的图像如图所示,在区间
上可找到
个不同的数
使得
则
的取值范围是

(A)
(B)
(C)
(D)

11、设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是
，且
是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　　)

A．ln2 B．－ln2 C. D.

12、实系数一元二次方程
的两个实根为
，若有
，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本题共4小题，共16分

13.已知定义在R上的函数
的图象关于点
对称，且满足
，又
，
，则

14.已知函数f(x)的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．若g(x)＝x＋m－lnx的保值区间是[2，＋∞)，则m的值为________．[来源:Zxxk.Com]

15.已知
，则

16.非空集合
关于运算
满足：（1）对任意
，都有
；

（2）存在
，使得对一切
，都有
，则称
关于运算
为“融洽集”；现给出下列集合和运算：

①
；②

③
；

④
⑤
。

其中
关于运算
为“融洽集”的是____ _.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (13分)已知命题p：函数f(x)＝lg的定义域为R；命题q：不等式<1＋ax对一切正实数x均成立．如果命题p或q为真，p且q为
假，求实数a的取值范围．

18.(12分)已知函数f(x)＝x2＋ (x≠0)．

(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．

19.(12分)函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D.有 f(x1
·x2)＝f(x1) ＋f(x2)

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明；

(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

20. 已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.

(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；

(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．

21．(12分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小

22.设函数f(x)＝x－－aln x(a∈R)

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

2013～2014学年度第一学期第一次单元检测

高三数学参考答案及评分标准

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

C

C

A

B

C

A

B

D

B

A

D



二：13：
14：

15：
16： ① ③ ④

17.　解　命题p为真命题等价于ax2－x＋a>0对任意实数x均成立．当a＝0时，－x>0，其解集不是R，∴a≠0.

于是有解得a>2，故命题p为真命题等价于a>2.------------------------4分命题q为真命题等价于a>＝＝对一切实数x均成立．

由于x>0，∴>1，＋1>2，

∴<1，从而命题q为真命题等价于a≥1.---------------------------------------8分

根据题意知，命题p、q有且只有一个为真命题，

当p真q假时实数a不存在；

当p假q真时，实数a的取值范围是1≤a≤2.---------------------------------------------12分

18.解　(1)当a＝0时，f(x)＝x2，f(－x)＝f(x) ，函数是偶函数．----------------------2分

当a≠0时，f(x)＝x2＋ (x≠0)，

取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；

f(－1)－f(1)＝－2a≠0，(不举反例的扣2分)

∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．

∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．----------------------------------------------------6分

(2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，

这时f(x)＝x2＋.

任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1

则f(x1)－f(x
2)＝(x＋)－

＝(x1＋x2)(x1－x
2)＋＝(x1－x2).

由于x1≥2，x2≥2，且x1

∴x1－x2<0，x1＋x2>，所以f(x1)

故f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．（用导数证明的同样分）-----------------------12分

19.解　(1)令x1＝x2＝1，

有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0---------------------------------------------------------.2分

(2)f(x)为偶函数，证明如下----------------------------------------------------------------------4分

令x1＝x2＝－1，

有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.

令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，

∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．-----------------------------------------------------------6分

(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，

f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3-----------------------------------------------------------------------.8分

由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，

变形为f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(*)

∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x－
6)|]≤f(64)．-------------------------------------------10分

又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.

解得－≤x<－或－

∴x的取值范围是{x|－≤x<－或－

20. 解　(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，

f′(x)＝3x2－12x＋3＝3(x－2＋)(x－2－)．

当x∈(－∞，2－)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，2－)上单调递增；

当x∈(2－，2＋)时，f′(x)<0，f(x)在(2－，2＋)上单调递减；

当x∈(2＋，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2＋，＋∞)上单调递
增．-----------------4分

综上，f(x)的单调增区间是(－∞，2－)和(2＋，＋∞)，

f(x)的单调减区间是(2－，2＋)．---------------
------------------------------------------6分

(2)f′(x)＝3x2－6ax＋3＝3[(x－a)2＋1－a2]．

当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；

当1－a2<0时，f′(x)＝0有两个根x1＝a－，

x2＝a＋.--------------------------------------------------------------------------------------8分

由题意，知2

或2

①无解，②的解为

注：用一元二次方程根的分布同样的分

21．解　(1)设需要新建n个桥墩，(n＋1)x＝m，

即n＝－1(0

所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x[来源:学科网ZXXK]

＝256＋(2＋)x

＝＋m＋2m-256 (0

(2)由(1)知f′(x)＝－＋
，………………………………………………-----…7分

令f′(x)＝0，得
＝512，所以x＝64.

当00，

f(x)在区间(64,640)内为增函数，………………………………………………………(10分)

所以f(x)在x＝64
处取得最小值，

此时，n＝－1＝－1＝9.

故需新建9个桥墩才能使y最小．……………----------------------------------------------
----12分

22.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝1＋－＝.

令g(x)＝x2－ax＋1，其判别式Δ＝a2－4.

①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．------------4分

②当a＜－2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)＞0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．-------------------------------------------------------6分

③当a＞2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根为x1＝，

x2＝.

当0＜x＜x1时，f′(x)＞0，当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；

当x＞x2时，f′(x)＞0.故f(x)分别在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．-----------------------------------------------------------------8分

(2)由(1)知，a＞2.

因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(ln x1－ln x2)，所以，k＝＝1＋－a·.---------------------------------------------------10
分

又由(1)知，x1x2＝1，于是k＝2－a·.

若存在a，使得k＝2－a，则＝1.--------
-----------------------10分

即ln x1－ln x2＝x1－x2.

由x1x2＝1得x2－
－2ln x2＝0(x2＞1)．(*)

再由(1)知，函数h(t)＝t－－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2＞1，所以x2－－2ln x2＞1－－2 ln 1＝0.这与(*)式矛盾．

故不存在a，使得k＝2－a.．------------------------------------------14分