绵阳市高中2012级第一次诊断性考试数学（文史类）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。第I卷1至2页，第II卷3至4页，共4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第I卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=

(A) ?? (B) {-1} (C) {0} (D) {2}

2．命题“
，
”的否定是

(A)
，
≤1

(B)
，
≤1

(C)
，2x≤1

(D)
，2x < 1

3．设各项均不为0的数列{an}满足
(n≥1)，Sn是其前n项和，若
，则a3=

(A)?
(B) 2

(C)
(D) 4

4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则
=

(A)
(B)

(C) 3 (D) ?-3

5．已知
，那么
=

(A)?
(B)

(C)
? (D)

6．已知x，y满足
则2x-y的最大值为

(A)? 1 (B) ?2 (C) ?3 (D) ?4

7．在(0，
)内，使|sinx|≥cosx成立的x的取值范围为

(A)
(B)

(C)
(D)?
∪

8．已知
是定义在(0，+∞)上的函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有
，记
，则

(A)
(B)

(C)
(D)

9．记函数
在
的值域为M，g(x)=(x＋1)2＋a在
的值域为N，若
，则实数a的取值范围是

(A)? a≥
(B) ?a≤

(C) ?a≥
(D) ? a≤

10．已知函数
的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是

(A)
(B)

(C)
(D)

第II卷（非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。

第II卷共11小题。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．若
，则
_______．

12．已知向量a=(1，2)，b=(2，0)，若向量λa+b与向量c= (1，-2)共线，则实数λ= ______．

13．已知
是函数f?(x)的导函数，
，则
=________．

14．已知函数f (x)=
， 则f (
)＋f (
)＋f (
)＋…＋f (
)=________．

15．定义：如果函数
在定义域内给定区间
上存在
，满足
，则称函数
是
上的“平均值函数”，
是它的一个均值点．例如
是
上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数
是
上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是_________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知向量m=(sinωx，cosωx)，n=(cosωx，cosωx)，其中ω>0，函数
2m·n-1的最小正周期为π．

(Ⅰ) 求ω的值；

(Ⅱ) 求函数
在[
，
]上的最大值．

17．（本小题满分12分）

已知函数f (t)=log2(2-t)+
的定义域为D．

(Ⅰ) 求D；

(Ⅱ) 若函数g (x)=x2+2mx-m2在D上存在最小值2，求实数m的值．

18．（本小题满分12分）

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，
．

(Ⅰ) 若
，求△ABC的面积S△ABC；

(Ⅱ) 若是边
中点，且
，求边
的长．

19．（本小题满分12分）

记公差不为0的等差数列
的前项和为
，S3=9，
成等比数列．

(Ⅰ) 求数列
的通项公式
及
；

(Ⅱ) 若
， n=1，2，3，…，问是否存在实数，使得数列
为单调递增数列？若存在，请求出的取值范围；不存在，请说明理由．

20．（本小题满分13分）

已知函数
(e为自然对数的底数)，a>0．

(Ⅰ) 若函数
恰有一个零点，证明：
；

(Ⅱ) 若
≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．

21．（本小题满分14分）

已知函数
∈R)．

(Ⅰ) 若
，求
点(
)处的切线方程；

(Ⅱ) 设a≤0，求
的单调区间；

(Ⅲ) 设a<0，且对任意的
，
≤
，试比较
与
的大小．

绵阳市高2012级第一次诊断性考试

数学(文史类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

BBDDC BACCA

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．
12．-1 13．-2 14．15 15．(0，2)

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．解：(Ⅰ)
2m·n-1

=
． ……………………………6分

由题意知：
，即
，解得
．…………………………………7分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
，

∵
≤x≤
，得
≤
≤
，

又函数y=sinx在[
，
]上是减函数，

∴
……………………………………10分

?=
．…………………………………………………………12分

17．解：(Ⅰ) 由题知
解得
，即
．……………………3分

(Ⅱ) g (x)=x2+2mx-m2=
，此二次函数对称轴为
．……4分

① 若
≥2，即m≤-2时， g (x)在
上单调递减，不存在最小值；

②若
，即
时， g (x)在
上单调递减，
上递增，此时
，此时值不存在；

③
≤1即m≥-1时， g (x)在
上单调递增，

此时
，解得m=1． …………………………11分

综上：
． …………………………………………………………………12分

18．解：(Ⅰ)
，
，

又
，所以
，

∴
． ………………6分

(Ⅱ) 以
为邻边作如图所示的平行四边形
，如图，

则
，BE=2BD=7，CE=AB=5，

在△BCE中，由余弦定理：
．

即
，

解得：
． ………………………………………………………………10分

19．解：(Ⅰ) 由
，

得：
解得：
．

∴
，
． …………………………………5分

(Ⅱ) 由题知

． ………………………………………………6分

若使
为单调递增数列，

则

=
对一切n∈N*恒成立，

即：
对一切n∈N*恒成立， ………………………………… 10分

又
是单调递减的,

∴ 当
时，
=-3，

∴
． …………………………………………………………………12分

20．(Ⅰ)证明： 由
，得
．…………………………1分

由
>0，即
>0，解得x>lna，同理由
<0解得x

∴
在(-∞，lna)上是减函数，在(lna，+∞)上是增函数，

于是
在
取得最小值．

又∵ 函数
恰有一个零点，则
， ………………… 4分

即
．………………………………………………………… 5分

化简得：
，

∴
． ………………………………………………………………… 6分

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，
在
取得最小值
，

由题意得
≥0，即
≥0，……………………………………8分

令
，则
，

由
可得01．

∴
在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即
，

∴ 当01时，h(a)<0，

∴ 要使得
≥0对任意x∈R恒成立，

∴的取值集合为
……………………………13分

21．解：(Ⅰ)
时，
，
，

∴
，
，…………………………………………………2分

故
点(
)处的切线方程是
．……………………3分

(Ⅱ)由
，得
．

(1)当
时，
．

①若b≤0，

由
知
恒成立，即函数
的单调递增区间是
．

………………………………………………5分

②若
，

当
时，
；当
时，
．

即函数
的单调递增区间是(0，
)，单调递减区间是(
，+∞)．

……………………………………………7分

(2) 当
时，
，得
，

由
得
．

显然，
，

当
时，
，函数
的单调递增，

当
时，
，函数
的单调递减，

所以函数
的单调递增区间是(0，
)，单调递减区间是(
，+∞)．………………………………………………………………9分

综上所述：

当a=0，b≤0时，函数
的单调递增区间是
；

当a=0，b>0时，函数
的单调递增区间是(0，
)，单调递减区间是(
，+∞)；

当
时，函数
的单调递增区间是(0，
)，单调递减区间是(
，+∞)． ……………………………………………………………10分

(Ⅲ)由题意知函数
在
处取得最大值．

由(II)知，
是
的唯一的极大值点，

故
=2，整理得
．

于是

令
，则
．

令
，得
，当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减．

因此对任意
，
≤
，又
，

故
，即
，即
，

∴
．……………………………………………………………14分