时量：120分钟 分值：150分 命题及审卷：叶桂如

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i为虚数单位，复数
在复平面内对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2．已知命题
；和命题
则下列命题为真的是（ ）

A．
B．
C．
D．

3． 设
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

4.已知函数
（
）的图象在
处的切线斜率为
（
），且当
时，其图象经过
，则
（ ）

A．
B． C． D．

5．函数
的零点所在的区间是（ ）

A.
B.
C.
D.

6.已知变量x，y满足约束条件
，则z=3x+y的最大值为 ( )

A.12 B.11 C.3 D.-1

7.在△ABC中，BC=1，∠B=
,△ABC的面积S=
，则AC=（ ）

A、 4 B、
C、
D、

8．已知P是△ABC所在平面内一点，
＋
＋2
＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是(　 　)

A. B. C. D.

9．若
，且点
在过点
、
的直线上，则
的最大值是（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知函数
的定义域为R，若存在常数
，对任意
，有
，则称
为函数．给出下列函数：①
；②
；③
；④
；⑤
是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数
均有
．其中是函数的序号为（ ）

A．①②④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤

二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡中对应题号后的横线上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。前三题为选做题,只须选做二个,多做按前两题答案得分)

11．不等式|﹣3x+1|--|2x+1|＜0的解集为　 ．

12．在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是
（θ∈[0，2π]，θ为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程是　 　．

13.如下图
是圆
的直径，过、的两条弦
和
相交于点
，若圆
的半径是
，那么
的值等于________________.



14.函数
在点（1，2）处的切线与函数
围成的图形的面积等于 .

15．四位学生，坐在一排有7个位置的座位上，有且只有两个空位是相邻的不同坐法有　 　种 ．(用数字作答)

16.若正整数
，称
为N的一个“分解积”，

当N分别等于6,7,8时，它们的 “分解积”的最大值分别为

当N=3m+1 （
）时，它的 “分解积”的最大值为

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程、或演算步骤。

17.(本小题满分12分）

已知函数
,
．

（1）求函数
的最大值和最小值；

（2）设函数
在
上的图象与轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为,求
与
的夹角的余弦．

18（12分）某种饮料每箱6听，如果其中有两听不合格产品.

（1）质检人员从中随机抽出1听，检测出不合格的概率多大？；

（2）质检人员从中随机抽出2听，设
为检测出不合格产品的听数，求
的分布列及数学期望.

19．(本小题满分12分）.

如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD=
DB，点C为圆O上一点，且BC=
AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．

（1）求证：PA⊥CD；

（2）求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．

20. (本小题满分13分）

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为
万元/辆，出厂价为
万元/辆，年销售量为
辆。本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为（
），则出厂价相应提高的比例为
，年销售量也相应增加。已知年利润=（每辆车的出厂价—每辆车的投入成本）×年销售量。

（1）若年销售量增加的比例为
，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？

（2）年销售量关于的函数为
，则当为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？

21.(本小题满分13分）如图，已知椭圆
：
的离心率为
，以椭圆
的左顶点为圆心作圆：
，设圆与椭圆
交于点
与点
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）求
的最小值，并求此时圆的方程；

（3）设点是椭圆
上异于
,
的任意一点，

且直线
分别与轴交于点
，
为坐标原点，

求证：
为定值．

22．（本小题满分13分）已知函数
的图像过坐标原点
，且在点
处的切线斜率为
。

(1) 求实数
的值；

(2) 求函数
在区间
上的最小值；

(3) 若函数
的图像上存在两点
，使得对于任意给定的正实数都满足
是以
为直角顶点的直角三角形，且三角形斜边中点在轴上，求点的横坐标的取值范围。

醴陵二中2014届高三第九次月考试卷

科目：理科数学

时量：120分钟 分值：150分

命题及审卷：叶桂如

（注：请考生务必将答案写在答卷上，做在试题卷上无效）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i为虚数单位，复数
在复平面内对应的点位于（ B ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2．已知命题
；和命题
则下列命题为真的是（ C ）

A．
B．
C．
D．

3． 设
，则（ A ）

A．
B．
C．
D．

4.已知函数
（
）的图象在
处的切线斜率为
（
），且当
时，其图象经过
，则
（ B ）

A．
B． C． D．

5．函数
的零点所在的区间是（ C ）

A.
B.
C.
D.

6.已知变量x，y满足约束条件
，则z=3x+y的最大值为 ( B )

A.12 B.11 C.3 D.-1

7.在△ABC中，BC=1，∠B=
,△ABC的面积S=
，则AC=（ B ）

A、 4 B、
C、
D、

8．已知P是△ABC所在平面内一点，
＋
＋2
＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是(　 D 　)

A. B. C. D.

9．若
，且点
在过点
、
的直线上，则
的最大值是（ A ）

A.
B.
C.
D.

10．已知函数
的定义域为R，若存在常数
，对任意
，有
，则称
为函数．给出下列函数：①
；②
；③
；④
；⑤
是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数
均有
．其中是函数的序号为（ C ）

A．①②④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤

二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡中对应题号后的横线上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。前三题为选做题,只须选做二个,多做按前两题答案得分)

11．不等式|﹣3x+1|--|2x+1|＜0的解集为　 ．

12．在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是
（θ∈[0，2π]，θ为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程是　 　．

如图（图2）
是圆
的直径，过、的两条弦
和
相交于点
，若圆
的半径是
，那么
的值等于________________.



14.函数
在点（1，2）处的切线与函数
围成的图形的面积等于 4/3

15．（5分）四位学生，坐在一排有7个位置的座位上，有且只有两个空位是相邻的不同坐法有　 　种．（用数字作答）

16.若正整数
，称
为N的一个“分解积”，

当N分别等于6,7,8时，它们的 “分解积”的最大值分别为

当N=3m+1 （
）时，它的 “分解积”的最大值为

（1） 9；12；18 （2）

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程、或演算步骤。

17.(本小题满分12分）

已知函数
,
．

（1）求函数
的最大值和最小值；

（2）设函数
在
上的图象与轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为,求
与
的夹角的余弦．

解：（1）
， ………3分

∵
，∴
，

∴函数
的最大值和最小值分别为1，－1． ………5分

（2）解法1：令
得
．………6分

∵
，∴
或
，∴
………8分

由
，且
得
，∴
………9分

∴
………10分

∴

． ………12分

解法2：过点P作
轴于,则
………6分

由三角函数的性质知
,
, ………8分

由余弦定理得
=
．………12分

解法3：过点P作
轴于,则
………6分

由三角函数的性质知
,
．………8分

在
中，
．………10分

∵PA平分
，∴

…12分

17（12分）某种饮料每箱6听，如果其中有两听不合格产品.

（1）质检人员从中随机抽出1听，检测出不合格的概率多大？；

（2）质检人员从中随机抽出2听，设
为检测出不合格产品的听数，求
的分布列及数学期望.

解：（1）在6听中随机抽出1听有6种方法 1分

在2听中随机抽出1听有2种方法 2分

所以
4分

答： 5分

（1）
6分

当
时，
7分

当
时，
8分

当
时，
9分

分布列为： 10分

11分

=

17．（12分）（2013?江门二模）市民李生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A、B、D上下班时间往返出现拥堵的概率都是
，道路C、E上下班时间往返出现拥堵的概率都是
，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到．

（1）求李生小孩按时到校的概率；

（2）李生是否有七成把握能够按时上班？

（3）设ξ表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求ξ的均值．

（1）因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是
和
．

∴李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是
，所以李生没有七成把握能够按时上