2015年数学科模拟试题答案（理科）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

A

D

B

B

D

C

B

C

A

D

C





13. 2 14.
15. -1 16.

17.(1)解：

……………………2分

……………………4分

（2）

……………………6分

……………………8分

……………………10分

……………………12分

18.答案：⑴因为网购金额在2000元以上的频率为
，

所以网购金额在2000元以上的人数为100
=40

所以
，

所以
，……………………1分

，……………………2分

所以
……………………4分

所以频率分布直方图如右图……………………5分

⑵由题设列联表如下

网龄3年以上

网龄不足3年

合计



购物金额在2000元以上

35

5

40



购物金额在2000元以下

40

20

60



合计

75

25

100





……………………7分

所以
=
……………………9分

因为
……………………10分

所以据此列联表判断，有
%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关.

……………………12分

19.证明：（1）取
中点，连结
.

侧面
为等边三角形，底面
为菱形且

……………………2分

……………………4分

……………………5分

（2）侧面
底面
，侧面

底面
=
，

，

……………………7分

以为坐标原点，
方向为轴，
方向为轴，
方向为轴建立空间直角坐标系，设点坐标为

则

……………………8分

设面
的法向量为
，

则
，令
，解得
……………………9分

设面
的法向量为
，同理解得
……………………10分

面
与面
所成的角（锐角）的余弦值为
……………………12分

20.解：（1）设抛物线的方程是
，
,

由抛物线定义可知
……………………2分

又
中点到轴的距离为3，∴

，∴p＝2，

所以抛物线的标准方程是
.……………………4分

(2)设
，则
在处的切线方程是
，直线
代入
得
，……………………6分

故
，所以
……………………8分

而

……………………10分

，得
，所以
，

存在点
.……………………12分

（说明：没求出
，但说明关于
的方程

有解，也给分。

例如令

，
，

所以

有解）

21解：（1）
,……………………2分

当
时，
的单调增区间为
，单调减区间为
；……………………3分

当
时，
的单调增区间为
，单调减区间为
；……………………4分

（2）令

若
,
,

是增函数,

无解. ……………………5分

若
,
，
,
是减函数;
, 是增函数 ,

.

……………………6分

若
，
，

是减函数,

，
……………7分

综上所述
……………………8分

（3）令
（或
）此时
，所以
，

由（Ⅰ）知
在
上单调递增，∴当
时
，即
，∴
对一切
成立，……………………9分

∵
，则有
，

……………………10分

要证

只需证

……………………11分

所以原不等式成立……………………12分

22.⑴因为
是⊙
的切线，所以
……………………2分

又因为
……………………4分

所以
,即
平分
.……………………5分

⑵由⑴可知
，且

∽
,所以
,……………………7分

又因为
,所以

……………………8分

所以
，……………………9分

所以
……………………10分

23.解：（1）圆锥曲线
的参数方程为

（
为参数），

所以普通方程为
：
……………………2分

……………………3分

直线
极坐标方程为：

……………………5分

（2）直线
的参数方程是
（为参数），……………………7分

代入椭圆方程得
……………………8分

……………………9分

……………………10分

24.解：
，……………………2分

（1）
，

或
或

，……………………4分

不等式的解集为
……………………5分

（2）图象……………………8分

所以
……………………10分