哈尔滨三中2015年第一次模拟考试

数学试卷（理工类）

第I卷 （选择题, 共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1. 集合
，

，则

A．
B．
C．
D．

2. 等差数列
的前
项和为
，且
=
，
=
，则公差
等于

A．
B．
C．
D．

3. 在

中，
，
，
，则
的面积为
，

A．
B．

C．
D．

4. 下列函数在
上为减函数的是

A．
B．
C．
D．

5. 方程
的解所在的区间为

A．
B．
C．
D．

6. 将函数
的图象向左平移
个单位，所得到的函数图象关于
轴对称，则
的一个可能取值为

A．
B．
C．
D．

7. 给出下列关于互不相同的直线
、
、
和平面
、
的四个命题：

①
若
，
，点
，则
与
不共面；

② 若
、
是异面直线，
，
，且
，
，则
；

③ 若

，
，
，则
；

④ 若
，
，
，
，
，则
，

其中为真命题的是

A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③

8. 变量
、
满足条件
，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

9. 如图，
为等腰直角三角形，
，
为斜
边
的高，点
在射线
上，

则
的最小值为

A．
B．

C．
D．

10. 如图，四棱锥
中，
，
，

和
都是等边三角形，则异面直线
与
所成角
的大小为

A．

B．

C．

D．

11. 已知抛物线
：
的焦点为
，准
线为
，
是
上一点，
是直线
与
的一个交点，若
，则
=

A．
B．
C．
D．

12. 设函数
在
上存在导数
，
，有
，在
上
，若
，则实数
的取值范围为

A．
B．
C．
D．

哈尔滨三中
2015年第
一次模拟考试

数学试卷（理工类）

第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）

13. 正项等比数列
中，
，
，则数列
的前
项和等于　　　．

14. 某几何体的三视图如图所示，

则它的表面积为
．

15. 已知
，
是椭圆和双曲线的公共焦点，
是它们的一个公共点，且
，椭圆的离心率为
，双曲线的离心率
，则
．

16．定义：如果函数
在定义域内给定区间
上存在

，满足
，则称函数
是
上的“平均值函数”，
是它的一个均值点，例如
是
上的平均值函数，
就是它的均值点．现有函数
是
上的平均值函数，则实数
的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分12分）

设
是锐角三角形，三个内角
，
，
所对的边分别记为
，
，
，并且

.

（Ⅰ）求角
的值；

（Ⅱ）若
，
，求
，
（其中
）．

18.（本小题满分12分）

已知数列
满足
，
，令
.

（Ⅰ）证明：数列
是等差数列；

（Ⅱ）求数列
的通项公式．

19.（本小题满分12分）

为等腰直角三角形，
，
，
、
分别是边
和
的中点，现将
沿
折起，使面

面
，
、
分别是边

和
的中点，平面
与
、
分别交于
、
两点．

（Ⅰ）求证：


；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）求
的长．

20.（本小题满分12分）

如图，抛物线
：
与椭圆
：
在第一象限的交点为
，
为坐标原点，
为椭圆的右顶点，
的面积为
.

（Ⅰ）求抛物线
的方程；

（Ⅱ）过
点作直线
交
于
、
两点，射线
、
分别交
于
、
两
点，记
和
的面积分别为
和
，问是否存在直线
，使得

？若存在，求出直线
的方程；
若不存在，请说明理由．

21.（本小题满分12分）

设函
数

，曲线
过点
，且在点
处的切线方程为
.

（Ⅰ）求
，
的值；

（Ⅱ）证明：当
时，
；

（Ⅲ）若当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形
是⊙
的内接四边形，延长
和
相交于点
，
，

.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
为⊙
的直径，且
，

求
的长．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程是

（
是参数），以原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程
.

（Ⅰ）判断直线
与曲线
的位置关系；

（Ⅱ）设
为曲线
上任意一点，求
的取值范围．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）若
存在实数
，使得
，求实数
的取值范围．

哈尔滨三中2015年第一次模拟考试

数学试卷（理工类）答案及评分标准

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

C

D

B

B

C

D

B

A

B

B



二、填空题：

13.
14.
15.
16.

三、
解答题：

17.解：(Ⅰ)

，

，
． ………………………… 6分

(Ⅱ)
，
，

又
，
，

，
，
．………………………… 12分

18.解：(Ⅰ)
，

，即
，
是等差数列．………6分

(Ⅱ)
，
，………………………… 10分

，
．……………………
…… 12分

19. (Ⅰ)因为
、
分别是边
和
的中点，

所以
，

因为
平面
，
平面
，

所以
平面

因为
平面
，

平面
，平面

平面

所以

又因为
，

所以