重庆市名校联盟2014～2015学年下期联合考试

高2015级 数学试题卷（理工农医类）

命题：重庆市名校联盟命题组

数学试题卷（理工农医类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干

净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．14-16题，请从中选做两题，若三题都做，只计前两题分数.

5．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

6．考试结束后，只将答题卡交回。

特别提醒：

（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

（1）
为虚数单位 ，则
（ ）

(A)
(B) 4 (C) 2 (D)

（2）某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为（ ）

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

（3）设随机变量
服从正态分布
，若
，则
=（ ）

(A) 2 (B) 3 (C) 9 (D) 1

（4）已知
，则
=(　　)

(A) 3 (B) 2 (C) 4 (D) 5

（5）《中国好歌曲》的五位评委刘欢、杨坤、周华健、蔡健雅、羽·泉组合给一位歌手给出的评分分别是：
，现将这五个数据依次输入下面程序框进行计算，则输出的
值及其统计意义分别是（ ）

(A)
，即
个数据的方差为
(B)
， 即
个数据的标准差为

(C)
，即
个数据的方差为
(D)
，即
个数据的标准差为

（6）下列命题中，是假命题的是（ ）

(A)
(B)

(C)
(D)

（7）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，

可得这个几何体的体积是（ ）

(A) 2 （B）4 （C） 6 （D）

（8）如图
为双曲线C：
的左、右焦点，圆O：
，过原点的直线与双曲线C交于点P，与圆O交于点M、N，且
，则
（ ）

（A）5 （B）30 （C）225 （D）15

（9）将4名新来的学生分到高三两个班，每班至少一人，不

同的分配方法数为（ ）

(A) 12 (B) 16 （C）14 （D）18

（10）如图，
为

的外心，
为钝

角，
是边
的中点，则
=（ ）

（A）
(B) 36 (C) 16 (D) 13

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．

（一）必做题（11-13题）

（11）已知全集
，集合
，
，则
.

（12）函数
的最大值是 .

（13）满足条件AB=2,
的三角形ABC的面积的最大值是 ．

（二）选做题（14-16题，请从中选做两题，若三题都做，只计前两题分数）

（14）如图，
是圆
的直径，过
、
的两条弦
和
相交于点
，

若圆
的半径是3，则
的值 。

（15）以坐标原点为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标方程为

的曲线与参数方程
（t为参数）的直线交

于A、B，则
。

（16）若函数
的定义域为
，则实数
的取值范围为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（13分，第一问6分，第二问7分）设
的内角
的对边分别为
,

.

(I)求证：
；

(II)若
,求
的值。

（18）（13分,第一问6分，第二问7分）某校高二上期月考语文试题的连线题如下：

将中国四大名著与它们的作者连线，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连

线．其得分标准是：每连对一个得3分，连错得
分。

一名考生由于考前没复习本知识点，所以对此考点一无所知，考试时只得随意连线，现将该考生的

得分记作ξ．

（Ⅰ）求这名考生所有连线方法总数；

（Ⅱ）求ξ的分布列及数学期望．

（19）（13分，第一问6分，第二问7分）如图,在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP⊥AB，AB=BC=
=2，

D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD。

(Ⅰ) 求证：平面PCD⊥平面PAD；

(Ⅱ) 求面GEF与面EFD所成锐二面角的大小。

（20）（12分，第一问6分，第二问6分）已知函数
。

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意的
，都有
，求
的取值范围。

（21）（12分，第一问4分，第二问4分，第三问4分）设椭圆
的长轴长为

6，离心率
，
为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆E标准方程；

（Ⅱ）设P
,Q
是椭圆E上的两点，
，且
, 设

，且

,求
的值;

（Ⅲ）如图，若分别过椭圆E的左右焦点F1，F2的动直线
相交于P点，与椭圆分别交于A、B与

C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k1、k2、k3、k4满足k1+k2=k3+k4．是否存在定

点M、N，使得|PM|+|PN|为定值．若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．

（22）（12分，第一问4分，第二问8分）已知数列
满足
，

且当
时，
，令
。

（Ⅰ）写出的所有
可能值；

（Ⅱ）求
的最大值和最小值。

名校联盟2014-2015学年下期高2015级联合考试

数学试题（理科）参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分

1-5 A D A B A 6-10 C B D C D

10提示：如图建立直角坐标系，设B
，C
，A
，圆的半径为R。

则

又

二、填空题:本大题共5小 题，每小题5分，共25分．

11.
12. 4 13.
14. 36 15.
16.

13方法一：从三角函数角度思考，如图，

方法二：从解析几何思考，如图建直角坐标系，设动点

A（-1，0），B（1，0）

，所以动点C的轨迹是圆心为
，半径为
的圆，所以三角形ABC的高的最大值为
。所以
。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）解：（Ⅰ）
……3分

……6分

（Ⅱ）

…13分

（18）解: (Ⅰ) 所有连线方法总数为四个元素在四个位置的全排列，所以连线方法总数是
种。……6分

(Ⅱ)
的可能取值为
……8分

，

，

……12分（每个1分）
























的分布列为:

数学期望
．……13分

（19）解 (Ⅰ) 证明:∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥CD ∵CD⊥AD∴CD⊥平面PAD

∵CD
平面PCD∴平面PCD⊥平面PAD。………6分

（Ⅱ） 如图以D为原点,以
分别为
轴建立空间直角坐标系D－xyz.不妨设AB=BC=
=2。则G（1，2，0）,E（0，1，1），F（0，0，1），
=（0，－1，0），

=（1，1，－1）

设平面EFG的法向量为
=（x，y，z）

∴

取
=(1,0,1) 平面PCD的一个法向量,
=(1,0,0)。∴
。

∴面GEF与面EFD所成锐二面角的大小
。……13分

（20）解：（Ⅰ）
，

① 当
时，
或

所以
的单调增区间是
，单调减区间是
…3分

②当
时，

或

所以
的单调增区间是
，单调减区间是
…6分

（Ⅱ）当
时，因为
，所以不会有

。…8分

当
时，由（Ⅰ）知
在
单调递增，在
单调递减。

所以
在
上
，由题意知

，所以的取值范围为
……12分

（21）解：（Ⅰ）
，所以椭圆标准方程
…4分

（Ⅱ)

，
,则

6分

则

……8分

(Ⅲ)
，当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（
，0）或

（
，0）．当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2．

∴l1的方程为y=m1（x+
），l2的方程为y=m2（x﹣
）．

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

联立
，得到
，

∴
，、同理
。……9分

∵
=，

……10分

又满足k1+k2=k3+k4．

设点P（x，y），则
，（x≠±
）……11分

由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣
，0）或（
，0）也满足，

∴点P在椭圆
上，则存在点M、N其坐标分别为（-
，0）、（
，0），使得|PM|+|PN|=2
为定值。……12分

（22）解：（Ⅰ）由题意满足条件的数列
的所有可能情况有：

① 0，1，2，1，0 。此时
=4；②0，1，0，1，0。此时
=2；③0，1，0，-1，0。此时
=0；④0，-1，-2，-1，0。此时
=-4；⑤0，-1，0，1，0。此时
=0；⑥0，-1，0，-1，0。此时
=-2，所以
的所有可能的值为：4，2，0，-2，-4。……4分（5个结果，每一项0.8分）

（Ⅱ）由
，可设
则
或
（
，

因为
，

所以

因为
，所以
，所以
为奇数，
是由
个1，和
个-1构成的数列。……………………8分

所以

则当
的前
项取1，后
项取-1时，
最大，此时

。…………10分

同理知，当
的前
项取-1，后
项取1时，
最小，此时
………………12分.

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