甘肃省庆阳市2015届高三下学期一诊考试

数学（理）试题

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、复数
，则复数
的共轭复数
在复平面内对应的点的坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

2、已知集合
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．
或

3、双曲线
的离心率为2，则其渐近线的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

4、设等差数列
的前n项和为
，且
，则公差
等于（ ）

A．-2 B．1 C．
D．3

5、为了了解某学校1500名高中男生的身体发育情况，抽查了

该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频

率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70~78kg的人数

为（ ）

A．240 B．210 C．180 D．60

6、已知两个单位向量
的夹角为
，
，若

，则实数
的取值范围是（ ）

A．2 B．-2 C．
D．

7、执行如图所示的程序框图所表述的算法，若输出的
的值为48，

则输入
的值为（ ）

A．3 B．6 C．8 D．12

8、函数
的图象大致是（ ）

9、某四面体的三视图如图所示，则该四面体的六条棱的长度中，

最大值的是（ ）

A．
B．

C．
D．

10、已知函数
，将函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
的图象，且
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

11、抛物线
的交点为
，已知点
为抛物线上的两个动点，且满足

过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．1 D．

12、已知
，函数
的零点分别为
，函数
的零点分别为
，则
的最小值为（ ）

A．1 B．
C．
D． 3

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.

13、在
的二项展开式中，常数项等于

14、设变量
满足约束条件
，则
的最小值为

15、正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点D是线段BC的中点，过D作球O的截面，则截面面积的最小值为

16、设
的三边长分别为
，若

，则
的最大值是

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、（本小题满分12分）

在
中，角
为钝角）所对的边分别为
，且

。

（1）求
的值；

（2）求
的长。

18、（本小题满分12分）

如图，三棱锥
中，
底面
于
，
，点
是PC的中点。

（1）求证：侧面
面
；

（2）若异面直线
与
所成的角为
，且
，

求二面角
的大小。

19、（本小题满分12分）

某单位有车牌号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属两个独立业务部门，对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率06，B车日出车频率0.5，该地区汽车限行规定如下：

现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A、B两车出车相互独立。

（1）求该点位在星期一恰好出车一台的概率；

（2）设X表示该单位在星期一与星期天两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E(X)。

20、（本小题满分12分）

已知椭圆
的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点
的直线
与椭圆C相较于
两点，且点
，

记直线
的斜率分别为
，当
取最大值时，求直线
的方程。

21、（本小题满分13分）

已知函数
为常数，e为自然对数的底数）

（1）当
时，求
的单调区间；

（2）若对任意的
，在
上存在两个不同的
使得
成立，求
的取值范围。

请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．

22、（本小题满分10分）

如图，
四点在同一圆上，
与
的延长线交于点E，点F在BA的延长线上。

（1）若
，求
的值；

（2）若
，证明：
。

23、（本小题满分10分）

在直角坐标平面内，直线
过点
，且倾斜角
，以坐标原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为
。

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）这直线
与圆C交于
两点，求
的值。

24、（本小题满分10分）

已知函数

（1）若对任意的
，都有
恒成立，求
的取值范围；

（2）解不等式
。

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