兰州市2015届高三3月诊断考试

数学（文）试题

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。

2．本试卷满分150分，考试用时120分钟。答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2．复数
的实部是

A．
B．
C．
D．

3．已知向量
，
满足
，
，
，则

A．
B．
C．
D．

4．从数字
、
、
中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于
的概率为

A．
B．

C．
D．

5．在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
=

．则

A．
B．
C．
D．

6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的
的值是

A．
B．

C．
D．

7．在直三棱柱
中，
，
，则点
到平面
的距离为

A．
B．
C．
D．

8．如图，程序输出的结果
, 则判断框中应填

A．

B．

C．

D．

9．已知不等式组
所表示的平面区域为
，若直线
与平面区域
有公 共点，则
的取值范围为是

A．
B．

C．
D．

10．在直角坐标系
中，设
是曲线
：
上任意一点，
是曲线
在点
处的切线，且
交坐标轴于
,
两点，则以下结论正确的是

A．
的面积为定值
B．
的面积有最小值为

C．
的面积有最大值为
D．
的面积
的取值范围是

11．已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
、
，右顶点为
，上顶点为
，若椭圆
的中心到直线
的距离为
，则椭圆
的离心率

A．
B．
C．
D．

12．已知定义在
上的可导函数
的导函数为
，若对于任意实数
，有
，且
为奇函数，则不等式
的解集为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知
，
，则
．

14．抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ．

15．已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围是 ．

16．若函数
的图象与
轴交于点
，过点
的直线
与函数
的图象交于
、
两点，
为坐标原点，则
．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在等比数列
中，已知
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式．

（Ⅱ）若
分别为等差数列
的第3项和第5项，试求数列
的前
项和
．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱柱
中，底面
是等腰梯形，
,

∥
，顶点
在底面
内的射影恰为点
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）在
上是否存在点
，使得

∥平面
？若存在，确定

点
的位置；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分12分）

兰州市为增强市民的环保意识，面向全市征召宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽

取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从

第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中

随机抽取2
名志愿者介绍宣传经验，求第4

组至少有一名志愿者被抽中的概率．

20．（本小题满分12分）

已知双曲线
：
的一条渐近线为
，右焦点
到直线
的距离为
．

（Ⅰ）求双曲线
的方程；

（Ⅱ）斜率为
且在
轴上的截距大于
的直线
与曲线
相交于
、
两点，已知
，若
，证明：过
、
、
三点的圆与
轴相切．

21．（本小题满分12分）

已知函数
（
为自然对数的底数）．

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）若
，函数
在
上为增函数，求实数
的取值范围．

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分。

22．（本小题满分10分）选
修4—1：几何证明选讲

如图，已知
切⊙
于点
，割线
交⊙
于
、
两点，
的平分线和
、
分别交于点
、
．求证:

（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
．

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
，（
为参数），以原点
为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ） 求曲线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ） 设
为曲线
上的动点，求点
到
上点的距离的最小值．



一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

D

B

C

D

B

B

C

A

A

B



8．由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10,由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意

11. 解析：设椭圆
的的焦距为
，由于直线
的方程为
，所以
，因
，所以
，解得
或
（舍），所以

二、填空题

13.
14.
15.
16.

15．解析 ：函数
，则
，

令
得
，因为函数
有两个极值点，所以
有两个零点，等价于函数
与
的图象有两个
交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作
的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率
，切线方程为
. 切点在切线上，则
，又切点在曲线
上，则
，即切点为（1，0）.切线方程为
. 再由直线
与曲线
有两个交点，知直线
位于两
直线
和
之间，其斜率2a满足：0＜2a＜1，解得实数a的取值范围是
.

16．解析：∵
，∴
的解为
，即
，而
恰为函数
图像的一个对称中心，∴
、
关于
对称

∴

三、解答题

17. 解：（Ⅰ）
为等比数列

∴

∴

∴
…………6分

（Ⅱ）∵
,
,又因为
为等差数列

∴

∴

∴
…………12分

18. 解：(Ⅰ)证明:连接
,则
平面
,

∴

在等腰梯形
中,连接

∵
,
,
∥

∴

∴